2 AC = BC P₂- P₁ = 2 AC, BC - ?

Рассмотрим треугольник ABC, где AC = BC. Пусть P₁ - периметр треугольника ACD, а P₂ - периметр треугольника BCD. Дано, что P₂ - P₁ = 2, и AB = 8. Нужно найти AC и BC.

Обозначим AC = BC = x. Тогда: P₁ = AC + CD + AD = x + CD + AD P₂ = BC + BD + CD = x + BD + CD P₂ - P₁ = (x + BD + CD) - (x + CD + AD) = BD - AD = 2

Также известно, что AB = AD + BD = 8. Получаем систему уравнений:

$$ egin{cases} BD - AD = 2 \ AD + BD = 8 end{cases} $$

Сложим эти два уравнения:

$$2BD = 10$$

$$BD = 5$$

Тогда AD = 8 - BD = 8 - 5 = 3.

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Т.к. AC = BC, то треугольник ABC - равнобедренный. Высота, проведенная из вершины C к основанию AB, является также медианой и биссектрисой. Обозначим точку пересечения высоты с основанием AB как E. Тогда AE = EB = AB / 2 = 8 / 2 = 4.

Рассмотрим прямоугольный треугольник BEC. По теореме Пифагора:

$$BC^2 = BE^2 + CE^2$$

Нужно найти CE. Заметим, что у нас недостаточно информации для этого. Не хватает данных об углах треугольника ABC или о соотношении сторон.

Пусть CD - биссектриса угла C. По свойству биссектрисы треугольника, биссектриса делит противоположную сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам:

$$\frac{AD}{BD} = \frac{AC}{BC}$$

$$\frac{3}{5} = \frac{AC}{BC}$$

Так как AC = BC, то это равенство верно только если треугольник ABC - равносторонний. В таком случае AB = BC = AC = 8.

Ответ: AC = BC = 8