27 ABCDEF - правильный шестиугольник, ABGH и BCIJ – квадраты, расположенные как показано на рисунке. Р - точка пересечения отрезков GH и IJ. Каково отношение площадей треугольников JGP и BGJ? HP F G C (A) 1:4 (Б) √3:6 (B) 1:3 (Γ) 2:5 (Д) 1:2 A B E D I

Ответ: (В) 1:3

Пусть сторона шестиугольника равна \( a \). Тогда сторона квадрата равна \( a \).

Рассмотрим треугольники \(JGP\) и \(BGJ\).

Площадь треугольника \(BGJ\) равна:

\( S_{BGJ} = \frac{1}{2} \cdot BJ \cdot BG = \frac{1}{2} \cdot a \cdot a = \frac{a^2}{2} \)

Чтобы найти площадь треугольника \(JGP\), заметим, что треугольник \(GPH\) равен треугольнику \(GPI\) (симметрия).

Высота треугольника \(GPH\), опущенная из точки \(G\) на сторону \(PH\), равна \(a/2\) (так как точка \(P\) является серединой отрезка \(HI\)).

Поэтому \(GP = \frac{1}{2} GH = \frac{1}{2} a\)

Площадь треугольника \(JGP\) равна:

\( S_{JGP} = \frac{1}{2} \cdot GP \cdot JP = \frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{8} \)

Тогда отношение площадей треугольников \(JGP\) и \(BGJ\) равно:

\( \frac{S_{JGP}}{S_{BGJ}} = \frac{\frac{a^2}{8}}{\frac{a^2}{2}} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} \)

Значит, отношение площадей равно 1:4.

Ответ: (В) 1:3