10. AB - диаметр окружности с центром в точке О. ВС - хорда. \(\angle BOC = 50^\circ\). Известно, что длина хорды ВС равна радиусу окружности. Найдите углы \(\triangle ABC\): A) \(\angle A = 25^\circ\); \(\angle B = 65^\circ\); \(\angle C = 90^\circ\); B) \(\angle A = \angle B = \angle C = 60^\circ\); C) \(\angle A = \angle B = 30^\circ\); \(\angle C = 120^\circ\); D) \(\angle A = \angle B = 40^\circ\); \(\angle C = 100^\circ\).

Рассмотрим задачу. Так как длина хорды BC равна радиусу окружности, то \(\triangle BOC\) - равнобедренный (BO = OC = радиусу). Тогда углы при основании равны: \(\angle OBC = \angle OCB\). В \(\triangle BOC\) сумма углов равна 180 градусов. $$ \angle BOC + \angle OBC + \angle OCB = 180^\circ $$ $$ 50^\circ + \angle OBC + \angle OBC = 180^\circ $$ $$ 2 \cdot \angle OBC = 130^\circ $$ $$ \angle OBC = 65^\circ $$ Следовательно, \(\angle OBC = \angle OCB = 65^\circ\). Угол \(\angle ABC\) равен углу \(\angle OBC\), значит \(\angle ABC = 65^\circ\). Угол \(\angle BAC\) является вписанным и опирается на дугу BC. Центральный угол, опирающийся на эту же дугу, - это \(\angle BOC = 50^\circ\). Вписанный угол равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу. $$ \angle BAC = \frac{1}{2} \angle BOC = \frac{1}{2} \cdot 50^\circ = 25^\circ $$ Так как AB - диаметр окружности, то угол \(\angle ACB\), опирающийся на диаметр, является прямым. Следовательно, \(\angle ACB = 90^\circ\). Итак, мы нашли все углы \(\triangle ABC\): $$ \angle A = 25^\circ, \angle B = 65^\circ, \angle C = 90^\circ $$ Ответ: A) \(\angle A = 25^\circ\); \(\angle B = 65^\circ\); \(\angle C = 90^\circ\)