А5. В трапеции ABCD основание AD перпендикулярно боковой стороне AB, угол D равен 60°, диагональ AC перпендикулярна стороне CD, равной 6 см. Найдите AD.

Решение:

Трапеция ABCD, AB \(\perp\) AD, значит, AB — высота трапеции. Угол D = 60°. CD = 6 см. AC \(\perp\) CD, значит, угол ACD = 90°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD. Угол D = 60°, угол ACD = 90°. Тогда угол CAD = 180° - 90° - 60° = 30°.

В прямоугольном треугольнике ACD, катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. CD — катет, противолежащий углу CAD (30°). Это не так. CD — катет, противолежащий углу CAD (30°). AC — катет, противолежащий углу D (60°).

CD = 6 см. Угол CAD = 30°. Угол D = 60°.

Найдем AC:

\[ \tan(60^{\circ}) = \frac{AC}{CD} \implies AC = CD \cdot \tan(60^{\circ}) = 6 \cdot \sqrt{3} = 6\sqrt{3} \text{ см} \]