А3. В равнобедренной трапеции ABCD высота, опущенная из вершины B на большее основание AD, равна 6 см и делит AD на отрезки, равные 3 см и 7 см. Площадь трапеции равна:

Решение:

Пусть BH — высота трапеции, \( BH = 6 \) см.

Высота делит большее основание AD на отрезки AH = 3 см и HD = 7 см. Таким образом, большее основание \( AD = AH + HD = 3 + 7 = 10 \) см.

В равнобедренной трапеции из вершины B опущен перпендикуляр BH на AD. В равнобедренной трапеции высота, опущенная из тупого угла, делит основание так, что больший отрезок является основанием. Здесь сказано, что высота, опущенная из вершины B, делит AD на 3 и 7 см. Если это меньший отрезок 3 см, то он равен AH. Тогда HD = 7 см. И AD = 10 см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

В данном случае, \( h = 6 \) см. Одно основание \( AD = 10 \) см. Чтобы найти другое основание BC, нужно воспользоваться свойствами равнобедренной трапеции. Из вершины C также можно опустить высоту, например, CK. Тогда AK = 3 см. Тогда AD = AK + KH + HD. Если BH - высота, то AH = 3, HD = 7. AD = 10. BC = HD - AH = 7 - 3 = 4 см. Или BC = AD - 2*AH = 10 - 2*3 = 4 см. Либо BC = AH + HD - AD = 3+7 - 10 = 0, что неверно. Переосмыслим условие: "делит AD на отрезки, равные 3 см и 7 см". Это значит, что точки пересечения высот с основанием AD делят его на эти отрезки. Пусть BH - высота из B, CK - высота из C. AH=3, HK=BC, KD=7. AD=AH+HK+KD = 3+BC+7 = 10+BC. Но AD - большее основание. Это означает, что BC < AD. Также AD = AH + HD = 3+7 = 10. Если AH = 3, то BC = HD - AH = 7 - 3 = 4. Это верно для равнобедренной трапеции.

\[ S = \frac{10 \text{ см} + 4 \text{ см}}{2} \cdot 6 \text{ см} = \frac{14 \text{ см}}{2} \cdot 6 \text{ см} = 7 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} = 42 \text{ см}^2 \]