А4. Укажите множество решений неравенств: \(\frac{2x^2+3x-2}{3-x} \leq 0\)

Решение:

Для решения рационального неравенства найдём корни числителя и знаменателя. Корни числителя:

\(2x^2+3x-2 = 0\)

Дискриминант \(D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-2) = 9 + 16 = 25\).

\(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3+5}{4} = \frac{2}{4} = 0.5\)

\(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2 \cdot 2} = \frac{-3-5}{4} = \frac{-8}{4} = -2\)

Корень знаменателя:

\(3-x = 0 \implies x = 3\)

Теперь расставим эти корни на числовой оси и определим знаки выражения \(\frac{2x^2+3x-2}{3-x}\) в каждом интервале. Точка \(x=3\) является выколотой, так как знаменатель не может быть равен нулю.

Интервалы: \((-\infty; -2]\), \([-2; 0.5]\), \((0.5; 3)\), \((3; +\infty)\).

Нам нужно \(\leq 0\), поэтому подходят интервалы \([-2; 0.5]\) и \((3; +\infty)\).

Объединяя их, получаем \([-2; 0.5] \cup (3; +\infty)\). Однако, в вариантах ответа используется \(1/2\) вместо \(0.5\).

Ответ: \([-2; \frac{1}{2}] \cup (3; +\infty)\).