А3. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Разложите вектор →DB₁ по векторам →a = →DA, →b = →DC, →c = →DD₁.

Решение:

Нам нужно разложить вектор →DB₁ по векторам →a = →DA, →b = →DC, →c = →DD₁.

Векторы →a, →b, →c являются рёбрами куба, исходящими из вершины D. Они взаимно перпендикулярны и могут служить базисом.

Рассмотрим путь от точки D к точке B₁. Мы можем двигаться вдоль рёбер куба.

Путь от D к B₁ можно представить следующим образом:

→DB₁ = →DA + ↑AB₁

Вектор ↑AB₁ параллелен вектору →DB, и ↑AB₁ = →DC. Но нам нужен вектор →DB₁.

Давайте представим →DB₁ как сумму векторов, исходящих из D:

→DB₁ = →DD₁ + ↑D₁B₁

Вектор ↑D₁B₁ параллелен вектору →AC и →DB. Вектор ↑D₁B₁ = →DC + →CB. Так как →CB = -→BC = -→DA, то ↑D₁B₁ = →DC - →DA.

Подставим это:

→DB₁ = →DD₁ + →DC - →DA

Теперь сравним это с заданными векторами:

→a = →DA

→b = →DC

→c = →DD₁

Подставляя, получаем:

→DB₁ = →c + →b - →a

Таким образом, разложение вектора →DB₁ будет: -→a + →b + →c.

Сравним с вариантами ответов:

• 1) →a + →b + →c
• 2) →a - →b + →c
• 3) -→a + →b + →c
• 4) -→a - →b + →c

Наш результат -→a + →b + →c совпадает с вариантом 3.

Ответ: 3) -a + b + c