А8 Решите уравнение $$\frac{3}{x-8} + \frac{8}{x-3} = 2$$.

Решим уравнение: $$\frac{3}{x-8} + \frac{8}{x-3} = 2$$ Приведем дроби к общему знаменателю: $$\frac{3(x-3) + 8(x-8)}{(x-8)(x-3)} = 2$$ Упростим числитель: $$\frac{3x - 9 + 8x - 64}{x^2 - 3x - 8x + 24} = 2$$ $$\frac{11x - 73}{x^2 - 11x + 24} = 2$$ Умножим обе части уравнения на знаменатель: $$11x - 73 = 2(x^2 - 11x + 24)$$ $$11x - 73 = 2x^2 - 22x + 48$$ Перенесем все в правую часть и получим квадратное уравнение: $$2x^2 - 33x + 121 = 0$$ Найдем дискриминант: $$D = (-33)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 121 = 1089 - 968 = 121$$ Найдем корни: $$x_1 = \frac{33 + \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{33 + 11}{4} = \frac{44}{4} = 11$$ $$x_2 = \frac{33 - \sqrt{121}}{2 \cdot 2} = \frac{33 - 11}{4} = \frac{22}{4} = 5.5$$ Проверим корни на допустимые значения (ОДЗ): $$x
eq 8$$ и $$x
eq 3$$. Оба корня удовлетворяют ОДЗ. Ответ: x = 11, x = 5.5