63. а) Одно из оснований трапеции в три раза меньше другого, её средняя линия равна 20 см. Найдите основания трапеции. б) Из вершины тупого угла равнобедренной трапеции АBCD проведён перпендикуляр СЕ к прямой AD, содержащей большее основание. Докажите, что отрезок АЕ равен средней линии трапеции. в) Дана трапеция ABCD, в которой ∠A = 90°, ∠D = 45°, ∠ACD = 90° и АВ = 2 см. Найдите среднюю линию трапеции. г) Один из углов равнобедренной трапеции равен 120°, меньшее основание и боковая сторона равны соответственно 7 см и 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

a) Обозначим меньшее основание трапеции как $$x$$, тогда большее основание равно $$3x$$. Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Таким образом, можем записать уравнение:$$\frac{x + 3x}{2} = 20$$

Решаем уравнение:$$\frac{4x}{2} = 20 \Rightarrow 2x = 20 \Rightarrow x = 10$$

Следовательно, меньшее основание равно 10 см, а большее основание равно $$3 \cdot 10 = 30$$ см.

Ответ: Меньшее основание - 10 см, большее основание - 30 см.

б) Доказательство:

Пусть дана равнобедренная трапеция $$ABCD$$ с основаниями $$BC$$ и $$AD$$, где $$AD > BC$$. Проведем высоту $$CE$$ из вершины тупого угла $$C$$ к основанию $$AD$$.

Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании $$AD$$ равны, т.е. $$\angle DAB = \angle CDA$$. Также, углы $$\angle ABC = \angle BCD$$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $$\triangle CDE$$. В этом треугольнике $$CE$$ - высота, проведенная к гипотенузе $$CD$$. Рассмотрим отрезок $$AE$$:

$$AE = AD - DE$$

Так как трапеция равнобедренная, то $$DE = \frac{AD - BC}{2}$$. Тогда:

$$AE = AD - \frac{AD - BC}{2} = \frac{2AD - AD + BC}{2} = \frac{AD + BC}{2}$$

Получили, что отрезок $$AE$$ равен полусумме оснований трапеции, что и является средней линией трапеции.

в) Дано: трапеция $$ABCD$$, $$\angle A = 90^\circ$$, $$\angle D = 45^\circ$$, $$\angle ACD = 90^\circ$$, $$AB = 2$$ см.

Найти: среднюю линию трапеции.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник $$ACD$$. Так как $$\angle ACD = 90^\circ$$ и $$\angle D = 45^\circ$$, то $$\angle CAD = 180^\circ - 90^\circ - 45^\circ = 45^\circ$$. Следовательно, треугольник $$ACD$$ равнобедренный и $$AC = CD$$.

2) Рассмотрим прямоугольник $$ABCE$$, где $$E$$ - точка на $$CD$$. В этом прямоугольнике $$BC = AE$$ и $$AB = CE = 2$$ см.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$CED$$. Так как $$\angle D = 45^\circ$$, то $$CE = ED = 2$$ см.

4) Тогда $$AD = AE + ED$$

5) Так как $$AC = CD$$, то по теореме Пифагора для треугольника $$ACD$$: $$AD^2 = AC^2 + CD^2 = 2AC^2$$.

6) $$AC^2 = AB^2 + BC^2$$ (по теореме Пифагора для треугольника $$ABC$$). $$AC = CD$$, следовательно, $$AC^2=CD^2$$. Так как $$\angle A = 90^\circ$$, то $$AC = AB = 2$$ см. Следовательно, $$CD = 2 \cdot \sqrt{2}$$

7) Таким образом, $$CD = CE + ED$$; $$AD = ED + AE$$; $$BC=AE$$; $$AE = 2$$;

$$AD = \sqrt{AC^2 + CD^2}$$. Следовательно, $$AD=2 \cdot \sqrt{2}$$

8) Средняя линия трапеции: $$m = \frac{BC + AD}{2} = \frac{AB+AD}{2} = \frac{2+2 \cdot \sqrt{2}}{2} = 1+\sqrt{2}$$

Ответ: Средняя линия равна $$1 + \sqrt{2}$$ см.

г) Дано: равнобедренная трапеция, один из углов равен $$120^\circ$$, меньшее основание и боковая сторона равны соответственно 7 см и 8 см.

Найти: среднюю линию трапеции.

Решение:

1) Пусть дана равнобедренная трапеция $$ABCD$$, где $$BC = 7$$ см - меньшее основание, $$AB = CD = 8$$ см - боковая сторона, и $$\angle A = \angle D = 60^\circ$$, $$\angle B = \angle C = 120^\circ$$.

2) Проведем высоты $$BE$$ и $$CF$$ из вершин $$B$$ и $$C$$ к основанию $$AD$$. Тогда $$AE = FD$$ и $$AE = \frac{AD - BC}{2}$$.

3) Рассмотрим прямоугольный треугольник $$ABE$$. В этом треугольнике $$\angle A = 60^\circ$$, $$AB = 8$$ см. Тогда $$AE = AB \cdot cos(60^\circ) = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$ см.

4) Следовательно, $$AD = BC + 2AE = 7 + 2 \cdot 4 = 7 + 8 = 15$$ см.

5) Средняя линия трапеции: $$m = \frac{BC + AD}{2} = \frac{7 + 15}{2} = \frac{22}{2} = 11$$ см.

Ответ: Средняя линия равна 11 см.