365. a) Найдите меньшую диагональ ромба, если один из его углов равен 60°, а сторона равна 18. 6) Найдите меньшую диагональ ромба, если один из его углов равен 120°, а периметр ра- в) Найдите сторону ромба, если один из его углов равен 120°, а меньшая диагональ равна 23. г) Найдите периметр ромба, если один из его углов равен 60°, а меньшая диагональ равна 12.

Ответ: а) 18, б) \(9\sqrt{3}\), в) 23, г) 24

Решение:

а) В ромбе, если один из углов равен 60°, меньшая диагональ равна стороне, следовательно, меньшая диагональ равна 18. б) Если один из углов ромба равен 120°, то больший угол образован двумя сторонами ромба. Меньшая диагональ лежит напротив меньшего угла, то есть угла 60°. Пусть сторона ромба равна \(a\), а меньшая диагональ равна \(d\). Тогда периметр равен \(4a = 84\), следовательно, \(a = 21\). Меньшая диагональ ромба равна \(a\sqrt{3} = 21\sqrt{3}\). в) Если меньшая диагональ ромба равна 23, то она лежит напротив меньшего угла, то есть угла 60°. Пусть сторона ромба равна \(a\). Тогда, согласно теореме косинусов, \(23^2 = a^2 + a^2 - 2a^2\cos{120°}\), или \(529 = 2a^2 + a^2\), то есть \(3a^2 = 529\), и \(a = \sqrt{\frac{529}{3}} = \frac{23}{\sqrt{3}} = \frac{23\sqrt{3}}{3}\). г) Если один из углов ромба равен 60°, то меньшая диагональ равна 12. Сторона ромба также равна 12 (так как напротив угла в 60° лежит меньшая диагональ). Периметр ромба равен \(4 \cdot 12 = 48\).

Ответ: а) 18, б) \(9\sqrt{3}\), в) 23, г) 24