044.5. a) log2 (x² + 7x - 5) = log2 (4x - 1); 6) logo,3 (-x² + 5x +7) = log0,3 (10x – 7); B) log2 (x² + x - 1) = log2 (-x + 7); г) logo,2 (-x² + 4x + 5) = log0,2 (-x - 31). 044.6. a) log2^2x - 4log2 x + 3 = 0; 6) log4^2x - log4 x - 2 = 0; 1 B) log^2_1/2x + 3log_1/2x + 2 = 0; г) logo,2^2 x + logo,2 x − 6 = 0. 044.7. a) 2log^2_5x + 5log5 x + 2 = 0; 6) 3log^2_4x - 7log4 x + 2 = 0; в) 2logo,3^2 х - 7log0,3 x − 4 = 0; 2 г) 3 log^2_1/2 x + 5 log_1/2 x - 2 = 0. 44.8. a) log2 x = log23 + log25; 6) log7 4 = log7 x - log7 9; B) log_1/3 4 + log_1/3 x = log_1/3 18; г) logo,4 9 - logo,4 x = log0,4 3.

Я вижу несколько заданий с логарифмами. Для успешного решения этих уравнений, нам потребуется уверенное знание свойств логарифмов и умение решать квадратные уравнения. 044.5. a) log2 (x² + 7x - 5) = log2 (4x - 1) Поскольку логарифмы равны, аргументы тоже должны быть равны: $$x^2 + 7x - 5 = 4x - 1$$ Перенесем все в левую часть: $$x^2 + 3x - 4 = 0$$ Решим квадратное уравнение через дискриминант: $$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$ $$x_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4$$ Проверим корни, подставив в исходное уравнение. При x=1: log2(1 + 7 - 5) = log2(3) и log2(4 - 1) = log2(3). При x=-4: log2(16 - 28 - 5) = log2(-17) и log2(-16 - 1) = log2(-17). Логарифм от отрицательного числа не существует. Ответ: x = 1 б) logo,3 (-x² + 5x +7) = log0,3 (10x – 7) Приравниваем аргументы: $$-x^2 + 5x + 7 = 10x - 7$$ $$x^2 + 5x - 14 = 0$$ $$D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 25 + 56 = 81$$ $$x_1 = \frac{-5 + \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 + 9}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-5 - \sqrt{81}}{2} = \frac{-5 - 9}{2} = -7$$ Проверим корни, подставив в исходное уравнение. При x=2: log0.3(-4+10+7) = log0.3(13) и log0.3(20-7) = log0.3(13). При x=-7: log0.3(-49-35+7) = log0.3(-77) и log0.3(-70-7) = log0.3(-77). Логарифм от отрицательного числа не существует. Ответ: x = 2 в) log2 (x² + x - 1) = log2 (-x + 7) Приравниваем аргументы: $$x^2 + x - 1 = -x + 7$$ $$x^2 + 2x - 8 = 0$$ $$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36$$ $$x_1 = \frac{-2 + \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 + 6}{2} = 2$$ $$x_2 = \frac{-2 - \sqrt{36}}{2} = \frac{-2 - 6}{2} = -4$$ Проверим корни, подставив в исходное уравнение. При x=2: log2(4 + 2 - 1) = log2(5) и log2(-2 + 7) = log2(5). При x=-4: log2(16 - 4 - 1) = log2(11) и log2(4 + 7) = log2(11). Ответ: x = 2, -4 г) logo,2 (-x² + 4x + 5) = log0,2 (-x - 31) Приравниваем аргументы: $$-x^2 + 4x + 5 = -x - 31$$ $$x^2 - 5x - 36 = 0$$ $$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-36) = 25 + 144 = 169$$ $$x_1 = \frac{5 + \sqrt{169}}{2} = \frac{5 + 13}{2} = 9$$ $$x_2 = \frac{5 - \sqrt{169}}{2} = \frac{5 - 13}{2} = -4$$ Проверим корни, подставив в исходное уравнение. При x=9: log0.2(-81 + 36 + 5) = log0.2(-40) и log0.2(-9-31) = log0.2(-40). Логарифм от отрицательного числа не существует. При x=-4: log0.2(-16 - 16 + 5) = log0.2(-27) и log0.2(4 - 31) = log0.2(-27). Логарифм от отрицательного числа не существует. Ответ: Решений нет 044.6. a) log₂² x - 4log₂ x + 3 = 0 Пусть $$y = log_2 x$$, тогда уравнение примет вид: $$y^2 - 4y + 3 = 0$$ $$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$$ $$y_1 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$$ $$y_2 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$$ Вернемся к замене: $$log_2 x = 3 \Rightarrow x = 2^3 = 8$$ $$log_2 x = 1 \Rightarrow x = 2^1 = 2$$ Ответ: x = 8, 2 б) log₄² x - log₄ x - 2 = 0 Пусть $$y = log_4 x$$, тогда уравнение примет вид: $$y^2 - y - 2 = 0$$ $$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9$$ $$y_1 = \frac{1 + \sqrt{9}}{2} = \frac{1 + 3}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{1 - \sqrt{9}}{2} = \frac{1 - 3}{2} = -1$$ Вернемся к замене: $$log_4 x = 2 \Rightarrow x = 4^2 = 16$$ $$log_4 x = -1 \Rightarrow x = 4^{-1} = \frac{1}{4}$$ Ответ: x = 16, 1/4 в) log₁/₂² x + 3log₁/₂ x + 2 = 0 Пусть $$y = log_{1/2} x$$, тогда уравнение примет вид: $$y^2 + 3y + 2 = 0$$ $$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1$$ $$y_1 = \frac{-3 + \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 + 1}{2} = -1$$ $$y_2 = \frac{-3 - \sqrt{1}}{2} = \frac{-3 - 1}{2} = -2$$ Вернемся к замене: $$log_{1/2} x = -1 \Rightarrow x = (\frac{1}{2})^{-1} = 2$$ $$log_{1/2} x = -2 \Rightarrow x = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$$ Ответ: x = 2, 4 г) logo,₂² x + logo,₂ x - 6 = 0 Пусть $$y = log_{0.2} x$$, тогда уравнение примет вид: $$y^2 + y - 6 = 0$$ $$D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$$ $$y_1 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 + 5}{2} = 2$$ $$y_2 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 - 5}{2} = -3$$ Вернемся к замене: $$log_{0.2} x = 2 \Rightarrow x = (0.2)^2 = 0.04$$ $$log_{0.2} x = -3 \Rightarrow x = (0.2)^{-3} = 125$$ Ответ: x = 0.04, 125 044.7. a) 2log₅² x + 5log₅ x + 2 = 0 Пусть $$y = log_5 x$$, тогда уравнение примет вид: $$2y^2 + 5y + 2 = 0$$ $$D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9$$ $$y_1 = \frac{-5 + \sqrt{9}}{4} = \frac{-5 + 3}{4} = -\frac{1}{2}$$ $$y_2 = \frac{-5 - \sqrt{9}}{4} = \frac{-5 - 3}{4} = -2$$ Вернемся к замене: $$log_5 x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = 5^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$ $$log_5 x = -2 \Rightarrow x = 5^{-2} = \frac{1}{25}$$ Ответ: x = $$\frac{\sqrt{5}}{5}$$, $$\frac{1}{25}$$ б) 3log₄² x - 7log₄ x + 2 = 0 Пусть $$y = log_4 x$$, тогда уравнение примет вид: $$3y^2 - 7y + 2 = 0$$ $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 - 24 = 25$$ $$y_1 = \frac{7 + \sqrt{25}}{6} = \frac{7 + 5}{6} = 2$$ $$y_2 = \frac{7 - \sqrt{25}}{6} = \frac{7 - 5}{6} = \frac{1}{3}$$ Вернемся к замене: $$log_4 x = 2 \Rightarrow x = 4^2 = 16$$ $$log_4 x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = 4^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{4}$$ Ответ: x = 16, $$\sqrt[3]{4}$$ в) 2logo,₃² x - 7log₀,₃ x - 4 = 0 Пусть $$y = log_{0.3} x$$, тогда уравнение примет вид: $$2y^2 - 7y - 4 = 0$$ $$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$$ $$y_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{4} = \frac{7 + 9}{4} = 4$$ $$y_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{4} = \frac{7 - 9}{4} = -\frac{1}{2}$$ Вернемся к замене: $$log_{0.3} x = 4 \Rightarrow x = (0.3)^4 = 0.0081$$ $$log_{0.3} x = -\frac{1}{2} \Rightarrow x = (0.3)^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{0.3}} = \sqrt{\frac{10}{3}} = \frac{\sqrt{30}}{3}$$ Ответ: x = 0.0081, $$\frac{\sqrt{30}}{3}$$ г) 3 log₁/₂² x + 5 log₁/₂ x - 2 = 0 Пусть $$y = log_{1/2} x$$, тогда уравнение примет вид: $$3y^2 + 5y - 2 = 0$$ $$D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49$$ $$y_1 = \frac{-5 + \sqrt{49}}{6} = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{1}{3}$$ $$y_2 = \frac{-5 - \sqrt{49}}{6} = \frac{-5 - 7}{6} = -2$$ Вернемся к замене: $$log_{1/2} x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = (\frac{1}{2})^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$$ $$log_{1/2} x = -2 \Rightarrow x = (\frac{1}{2})^{-2} = 4$$ Ответ: x = $$\frac{1}{\sqrt[3]{2}}$$, 4 44.8. a) log₂ x = log₂3 + log₂5 Используем свойство логарифмов: $$log_a b + log_a c = log_a (b \cdot c)$$ $$log_2 x = log_2 (3 \cdot 5)$$ $$log_2 x = log_2 15$$ $$x = 15$$ Ответ: x = 15 б) log₇ 4 = log₇ x - log₇ 9 Используем свойство логарифмов: $$log_a b - log_a c = log_a (\frac{b}{c})$$ $$log_7 4 = log_7 (\frac{x}{9})$$ $$4 = \frac{x}{9}$$ $$x = 4 \cdot 9 = 36$$ Ответ: x = 36 в) log₁/₃ 4 + log₁/₃ x = log₁/₃ 18 Используем свойство логарифмов: $$log_a b + log_a c = log_a (b \cdot c)$$ $$log_{1/3} (4x) = log_{1/3} 18$$ $$4x = 18$$ $$x = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4.5$$ Ответ: x = 4.5 г) logo,₄ 9 - logo,₄ x = log0,₄ 3 Используем свойство логарифмов: $$log_a b - log_a c = log_a (\frac{b}{c})$$ $$log_{0.4} (\frac{9}{x}) = log_{0.4} 3$$ $$\frac{9}{x} = 3$$ $$x = \frac{9}{3} = 3$$ Ответ: x = 3