А3. АВ и ВС - отрезки касательных, проведенных из точки В к окружности с центром О. ОВ = 10, АО = 5. Чему равен угол АОС? 1) 120° 2) 60° 3) 45° 4) 90°

По условию задачи, $$AB$$ и $$BC$$ - касательные к окружности с центром $$O$$. Это означает, что $$\angle OAB = \angle OCB = 90^\circ$$.

Четырехугольник $$ABCO$$ имеет сумму углов $$360^\circ$$. Тогда

$$\angle ABC = 360^\circ - \angle OAB - \angle OCB - \angle AOC = 360^\circ - 90^\circ - 90^\circ - \angle AOC = 180^\circ - \angle AOC$$.

$$\angle ABO = \angle CBO$$ так как $$BO$$ биссектриса $$\angle ABC$$, а $$\triangle ABO = \triangle CBO$$ по двум катетам ($$AO=CO$$ радиусы, $$BO$$ общая). Рассмотрим $$\triangle ABO$$ он прямоугольный.

$$\sin \angle ABO = \frac{AO}{BO} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2}$$. Значит $$\angle ABO = 30^\circ$$.

$$\angle ABC = 2 \cdot \angle ABO = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$$.

Тогда, $$60^\circ = 180^\circ - \angle AOC$$, следовательно $$\angle AOC = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$$.