999. Диагонали параллелограмма ABCD пересекаются в точке O, M — середина отрезка AO. Найдите, если это возможно, такое число k, чтобы выполнялось равенство: а) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{AO}\); б) \(\overrightarrow{BO}=k\overrightarrow{BD}\); в) \(\overrightarrow{OC}=k\overrightarrow{CA}\); г) \(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{DC}\); д) \(\overrightarrow{BC}=k\overrightarrow{DA}\); е) \(\overrightarrow{AM}=k\overrightarrow{CA}\); ж) \(\overrightarrow{MC}=k\overrightarrow{AM}\); з) \(\overrightarrow{AC}=k\overrightarrow{CM}\); и) \(\overrightarrow{AO}=k\overrightarrow{BD}\).

Обозначим \(\overrightarrow{AB}=\vec b\), \(\overrightarrow{AD}=\vec d\). Тогда \(\overrightarrow{AC}=\vec b+\vec d\), \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec b+\vec d)\), \(\overrightarrow{AM}=\frac14(\vec b+\vec d)\).

1. \(\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{AO}\), поэтому \(k=2\).
2. \(\overrightarrow{BO}=\frac12(\vec d-\vec b)=\frac12\overrightarrow{BD}\), поэтому \(k=\frac12\).
3. \(\overrightarrow{OC}=\frac12(\vec b+\vec d)=-\frac12\overrightarrow{CA}\), поэтому \(k=-\frac12\).
4. \(\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{DC}\), поэтому \(k=1\).
5. \(\overrightarrow{BC}=\vec d=-\overrightarrow{DA}\), поэтому \(k=-1\).
6. \(\overrightarrow{AM}=\frac14(\vec b+\vec d)=-\frac14\overrightarrow{CA}\), поэтому \(k=-\frac14\).
7. \(\overrightarrow{MC}=\frac34(\vec b+\vec d)=3\overrightarrow{AM}\), поэтому \(k=3\).
8. \(\overrightarrow{CM}=-\frac34(\vec b+\vec d)\), следовательно, \(\overrightarrow{AC}=-\frac43\overrightarrow{CM}\), поэтому \(k=-\frac43\).
9. В общем случае \(\overrightarrow{AO}=\frac12(\vec b+\vec d)\), а \(\overrightarrow{BD}=\vec d-\vec b\). Эти векторы не являются коллинеарными, поэтому такого числа \(k\) не существует.

Ответ: а) \(2\); б) \(\frac12\); в) \(-\frac12\); г) \(1\); д) \(-1\); е) \(-\frac14\); ж) \(3\); з) \(-\frac43\); и) невозможно.