Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
В прямоугольном треугольнике ABC:
\[ < B = 90^\circ - < A \]
Нам дано \( < C = 90^\circ \), \( AB = 90 \) и \( \sin A = \frac{2}{3} \).
Из определения синуса в прямоугольном треугольнике:
\[ \sin A = \frac{BC}{AB} \]
\[ \frac{2}{3} = \frac{BC}{90} \]
\[ BC = 90 \times \frac{2}{3} = 30 \times 2 = 60 \]
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CBH. В нем \( < CHB = 90^\circ \). Угол \( < B \) общий для треугольников ABC и CBH.
Найдем \( \cos A \) из \( \sin A = \frac{2}{3} \). Поскольку \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \), то \( \cos^2 A = 1 - (\frac{2}{3})^2 = 1 - \frac{4}{9} = \frac{5}{9} \). Следовательно, \( \cos A = \frac{\sqrt{5}}{3} \) (угол A острый).
В треугольнике ABC: \( \cos A = \frac{AC}{AB} \). \( AC = AB \cos A = 90 \times \frac{\sqrt{5}}{3} = 30\sqrt{5} \).
В треугольнике CBH:
\[ \sin B = \frac{CH}{BC} \]
\[ \cos B = \frac{BH}{BC} \]
Мы знаем, что \( < B = 90^\circ - < A \). Следовательно, \( \cos B = \sin A \) и \( \sin B = \cos A \).
\[ \cos B = \sin A = \frac{2}{3} \]
Теперь найдем BH:
\[ BH = BC \cos B = 60 \times \frac{2}{3} = 20 \times 2 = 40 \]
Ответ: 40
