9. В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH — высота, AB = 100, \(\sin A = \frac{4}{5}\). Найдите длину отрезка AH.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: В прямоугольном треугольнике ABC, \(\sin A = \frac{BC}{AB}\).
   Нам дано \(\sin A = \frac{4}{5}\) и \(AB = 100\).
   \(\frac{BC}{100} = \frac{4}{5}\).
   \(BC = 100 \cdot \frac{4}{5} = 80\).
2. Шаг 2: Найдем длину катета AC по теореме Пифагора: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\).
   \(AC^2 + 80^2 = 100^2\).
   \(AC^2 + 6400 = 10000\).
   \(AC^2 = 10000 - 6400 = 3600\).
   \(AC = \sqrt{3600} = 60\).
3. Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В нем \(\angle C = 90^{\circ}\). CH — высота.
   Угол A общий для треугольников ABC и ACH.
   В треугольнике ACH, \(\cos A = \frac{AH}{AC}\).
4. Шаг 4: Найдем \(\cos A\). Так как \(\sin A = \frac{4}{5}\), то \(\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A}\) (поскольку A — острый угол в прямоугольном треугольнике, косинус положителен).
   \(\cos A = \sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{16}{25}} = \sqrt{\frac{25-16}{25}} = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}\).
5. Шаг 5: Теперь найдем AH:
   \(\frac{AH}{AC} = \cos A\).
   \(\frac{AH}{60} = \frac{3}{5}\).
   \(AH = 60 \cdot \frac{3}{5} = 12 \cdot 3 = 36\).

Ответ: 36