9. Установка для демонстрации адиабатического сжатия представляет собой сосуд с поршнем, резко сжимающим газ. При этом объем и давление связаны соотношением \( p_1 V_1^{1.4} = p_2 V_2^{1.4} \), где \( p_1 \) и \( p_2 \) — давление газа (в атмосферах) в начальном и конечном состояниях, \( V_1 \) и \( V_2 \) — объем газа (в литрах) в начальном и конечном состояниях. Изначально объем газа равен 1,6 л, а давление газа равно одной атмосфере. До какого объема нужно сжать газ, чтобы давление в сосуде стало 128 атмосфер? Ответ дайте в литрах.

Решение:

Дано:

• \( p_1 = 1 \) атм
• \( V_1 = 1.6 \) л
• \( p_2 = 128 \) атм
• \( p_1 V_1^{1.4} = p_2 V_2^{1.4} \)

Найти: \( V_2 \)

1. Подставим известные значения в формулу: \( 1 \cdot (1.6)^{1.4} = 128 \cdot V_2^{1.4} \).
2. Выразим \( V_2^{1.4} \): \( V_2^{1.4} = \frac{(1.6)^{1.4}}{128} \).
3. Возведем обе части уравнения в степень \( \frac{1}{1.4} \): \( V_2 = \left( \frac{(1.6)^{1.4}}{128} \right)^{\frac{1}{1.4}} \).
4. \( V_2 = \frac{1.6}{(128)^{\frac{1}{1.4}}} \).
5. Так как \( 128 = 2^7 \) и \( 1.4 = \frac{7}{5} \), то \( \frac{1}{1.4} = \frac{5}{7} \).
6. \( V_2 = \frac{1.6}{(2^7)^{\frac{5}{7}}} = \frac{1.6}{2^5} = \frac{1.6}{32} \).
7. \( V_2 = \frac{16}{320} = \frac{1}{20} = 0.05 \) л.

Ответ: 0.05