12. Найдите точку максимума функции $ y = -\frac{2}{3}x^2 + 3x + 1 $

Question

Вопрос: $Фото задания: 12. Найдите точку максимума функции $ y = -\frac{2}{3}x^2 + 3x + 1 $$ Фото задания

Accepted Answer

Для нахождения точки максимума функции, найдем первую производную и приравняем ее к нулю.

$ y' = \frac{d}{dx} \left( -\frac{2}{3}x^2 + 3x + 1 \right) $

$ y' = -\frac{2}{3} \cdot 2x + 3 $

$ y' = -\frac{4}{3}x + 3 $

Приравняем производную к нулю:

$ -\frac{4}{3}x + 3 = 0 $

$ \frac{4}{3}x = 3 $

$ x = 3 \cdot \frac{3}{4} = \frac{9}{4} $

Чтобы убедиться, что это точка максимума, найдем вторую производную:

$ y'' = \frac{d}{dx} \left( -\frac{4}{3}x + 3 \right) = -\frac{4}{3} $

Так как $ y'' < 0 $, то в точке $ x = \frac{9}{4} $ функция имеет максимум.

Найдем значение функции в этой точке:

$ y \left( \frac{9}{4} \right) = -\frac{2}{3} \left( \frac{9}{4} \right)^2 + 3 \left( \frac{9}{4} \right) + 1 $

$ y \left( \frac{9}{4} \right) = -\frac{2}{3} \cdot \frac{81}{16} + \frac{27}{4} + 1 $

$ y \left( \frac{9}{4} \right) = -\frac{2 \cdot 27}{16} + \frac{27}{4} + 1 $

$ y \left( \frac{9}{4} \right) = -\frac{27}{8} + \frac{54}{8} + \frac{8}{8} = \frac{-27 + 54 + 8}{8} = \frac{35}{8} $

Точка максимума имеет координаты $ (\frac{9}{4}, \frac{35}{8}) $.

Ответ: $ (\frac{9}{4}, \frac{35}{8}) $

12. Найдите точку максимума функции \( y = -\frac{2}{3}x^2 + 3x + 1 \)