9. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60 градусам. Сумма гипотенузы и меньшего катета равна 54. Найдите гипотенузу треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике один угол \(90^{\circ}\). Если один из острых углов \(60^{\circ}\), то другой острый угол равен \(90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\).

Пусть гипотенуза равна \(c\), а меньший катет (противолежащий углу \(30^{\circ}\)) равен \(a\). Тогда больший катет (противолежащий углу \(60^{\circ}\)) равен \(b\).

Из свойств прямоугольного треугольника известно, что катет, противолежащий углу \(30^{\circ}\), равен половине гипотенузы: \(a = \frac{c}{2}\).

По условию, сумма гипотенузы и меньшего катета равна \(54\):

\(c + a = 54\)

Подставим \(a = \frac{c}{2}\) в уравнение:

\(c + \frac{c}{2} = 54\)

Умножим обе части на 2, чтобы избавиться от дроби:

\(2c + c = 108\)

\(3c = 108\)

\(c = \frac{108}{3}\)

\(c = 36\)

Итак, гипотенуза равна \(36\).

Меньший катет \(a = \frac{36}{2} = 18\).

Проверка: \(36 + 18 = 54\).

Ответ: 36.