10. Один из углов прямоугольного треугольника равен 30 градусам. Разность гипотенузы и меньшего из катетов равна 28. Найдите гипотенузу треугольника.

Решение:

В прямоугольном треугольнике один угол \(90^{\circ}\). Если один из острых углов \(30^{\circ}\), то другой острый угол равен \(90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\).

Пусть гипотенуза равна \(c\), а меньший катет (противолежащий углу \(30^{\circ}\)) равен \(a\). Тогда больший катет (противолежащий углу \(60^{\circ}\)) равен \(b\).

Из свойств прямоугольного треугольника известно, что катет, противолежащий углу \(30^{\circ}\), равен половине гипотенузы: \(a = \frac{c}{2}\).

По условию, разность гипотенузы и меньшего катета равна \(28\):

\(c - a = 28\)

Подставим \(a = \frac{c}{2}\) в уравнение:

\(c - \frac{c}{2} = 28\)

\(\frac{c}{2} = 28\)

Умножим обе части на 2:

\(c = 28 × 2\)

\(c = 56\)

Итак, гипотенуза равна \(56\).

Меньший катет \(a = \frac{56}{2} = 28\).

Проверка: \(56 - 28 = 28\).

Ответ: 56.