9. На стороне ВС прямоугольника ABCD, у которого AB = 20 и AD = 41, отмечена точка Е так, что ∠EAB = 45°. Найдите ED.

Решение:

1. Построим прямоугольник ABCD. AB = 20, BC = AD = 41.
2. Отметим точку E на стороне BC. Угол EAB = 45°.
3. Рассмотрим треугольник ABE. Угол B = 90° (так как ABCD - прямоугольник).
4. Найдем длину BE. Тангенс угла EAB равен отношению противолежащего катета BE к прилежащему катету AB:

$\backslash tan(45^\backslash circ)\; =\; \backslash frac\{BE\}\{AB\}$

$1\; =\; \backslash frac\{BE\}\{20\}$

Отсюда BE = 20.

5. Найдем длину EC. EC = BC - BE = 41 - 20 = 21.
6. Рассмотрим треугольник ECD. Угол C = 90°. CD = AB = 20.
7. Найдем длину ED по теореме Пифагора:

$ED^2\; =\; EC^2\; +\; CD^2$

$ED^2\; =\; 21^2\; +\; 20^2$

$ED^2\; =\; 441\; +\; 400$

$ED^2\; =\; 841$

$ED\; =\; \backslash sqrt\{841\}$

$ED\; =\; 29$

Ответ: 29