9. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 65° и 50°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

В параллелограмме ABCD диагональ BD образует с сторонами углы: $$\angle ABD = 65^\circ$$ и $$\angle CDB = 50^\circ$$.

Так как AB || DC, то $$\angle ABD = \angle BDC$$ как накрест лежащие углы. Однако, в условии даны углы $$\angle ABD = 65^\circ$$ и $$\angle CDB = 50^\circ$$. Это противоречие, так как эти углы должны быть равны.

Предположим, что углы, которые образует диагональ BD с сторонами, это $$\angle ADB = 65^\circ$$ и $$\angle DBC = 50^\circ$$.

В параллелограмме ABCD: AB || DC, AD || BC.

Так как AD || BC, то $$\angle ADB = \angle DBC$$ как накрест лежащие. Но в условии дано $$\angle ADB = 65^\circ$$ и $$\angle DBC = 50^\circ$$. Это противоречие.

Давайте рассмотрим углы, которые образует диагональ BD с сторонами AB и BC:

1. $$\angle ABD = 65^\circ$$ и $$\angle CBD = 50^\circ$$.

Тогда угол $$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 65^\circ + 50^\circ = 115^\circ$$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Следовательно, $$\angle BCD = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$.

$$\angle ADC = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$.

$$\angle DAB = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$.

Углы параллелограмма: 115°, 65°, 115°, 65°.

Меньший угол параллелограмма равен 65°.

2. Рассмотрим случай, когда углы образуются с сторонами AB и AD:

$$\angle ABD = 65^\circ$$ и $$\angle ADB = 50^\circ$$.

В треугольнике ABD:

$$\angle BAD = 180^\circ - (65^\circ + 50^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$.

В параллелограмме противоположные углы равны, значит $$\angle BCD = 65^\circ$$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Следовательно, $$\angle ABC = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$.

$$\angle ADC = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$.

Углы параллелограмма: 65°, 115°, 65°, 115°.

Меньший угол параллелограмма равен 65°.

Ответ: 65.