10. Диагональ BD параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 60° и 55°. Найдите меньший угол параллелограмма.

Решение:

В параллелограмме ABCD диагональ BD образует с сторонами углы.

Рассмотрим два возможных случая:

Случай 1: Углы образуются со сторонами AB и BC.

$$\angle ABD = 60^\circ$$ и $$\angle CBD = 55^\circ$$.

Тогда угол $$\angle ABC = \angle ABD + \angle CBD = 60^\circ + 55^\circ = 115^\circ$$.

В параллелограмме сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°.

Следовательно, $$\angle BCD = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$.

$$\angle ADC = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$.

$$\angle DAB = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$.

Углы параллелограмма: 115°, 65°, 115°, 65°.

Меньший угол параллелограмма равен 65°.

Случай 2: Углы образуются со сторонами AB и AD.

$$\angle ABD = 60^\circ$$ и $$\angle ADB = 55^\circ$$.

В треугольнике ABD:

$$\angle BAD = 180^\circ - (60^\circ + 55^\circ) = 180^\circ - 115^\circ = 65^\circ$$.

В параллелограмме противоположные углы равны, значит $$\angle BCD = 65^\circ$$.

Сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Следовательно, $$\angle ABC = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$.

$$\angle ADC = 180^\circ - 65^\circ = 115^\circ$$.

Углы параллелограмма: 65°, 115°, 65°, 115°.

Меньший угол параллелограмма равен 65°.

Ответ: 65.