9. Даны сто палочек длиной 1, 2, ..., 100 см. Вася и Петя играют в такую игру: они по очереди берут по палочке, пока не останется три палочки. Начинает Вася — у него на ход больше, зато Петя заранее определяет, кто выигрывает, если из оставшихся трёх палочек можно сложить треугольник (неумелый ход?). У кого из ребят есть выигрышная стратегия?

Решение:

Это игра на выбывание, где целью является либо оставить противнику возможность сложить треугольник, либо не дать ему такой возможности.

Условие выигрыша: из трех оставшихся палочек можно сложить треугольник.

Теорема неравенства треугольника: сумма двух любых сторон треугольника должна быть больше третьей стороны.

Всего палочек: 100.

Остается палочек: 3.

Количество взятых палочек: \( 100 - 3 = 97 \).

Вася ходит первым.

Анализ игры:

Игра заканчивается, когда остается 3 палочки.

Если игрок, которому предстоит сделать ход, видит, что из трех оставшихся палочек можно составить треугольник, он проигрывает (или наоборот, в зависимости от условий, но здесь условие «кто выигрывает, если... можно сложить треугольник», значит, тот, кто оставляет противнику возможность сложить треугольник, выигрывает).

Стратегия Васи:

Вася ходит первым. Он хочет так брать палочки, чтобы в конце остались три, из которых НЕЛЬЗЯ составить треугольник, или чтобы Петя был вынужден взять последнюю палочку, которая приведет к выигрышной для Васи ситуации.

Рассмотрим примеры:

Если остаются палочки с длинами 3, 4, 5. Из них можно составить треугольник (3+4>5, 3+5>4, 4+5>3). Игрок, которому предстоит взять палочку, если из оставшихся трех НЕЛЬЗЯ сложить треугольник, выигрывает.

Петя заранее определяет, кто выигрывает. Это значит, что Петя может просчитать игру наперед.

Ключевой момент: Вася хочет, чтобы Петя остался с тремя палочками, из которых НЕЛЬЗЯ составить треугольник. Петя хочет, чтобы Вася остался с тремя палочками, из которых МОЖНО составить треугольник.

С точки зрения Пети (он заранее определяет, кто выигрывает):

Петя может выиграть, если сможет создать такую ситуацию, где Вася будет вынужден взять палочку, после чего останутся три, из которых НЕЛЬЗЯ составить треугольник. Или если он сможет так повлиять на ход игры, чтобы Вася не смог предотвратить ситуацию, когда останутся три палочки, из которых МОЖНО сложить треугольник (и тогда Петя выигрывает).

Рассмотрим игру с конца:

Остается 3 палочки.

Чтобы НЕЛЬЗЯ было сложить треугольник, например, палочки 1, 2, 100. (1+2 < 100).

Игроки берут по 97 палочек.

Вася ходит первым. Он берет 49 палочек.

Петя ходит вторым. Он берет 48 палочек.

Всего взято: \( 49 + 48 = 97 \).

Остается 3 палочки.

Анализ хода Васи:

Если Вася берет 49 палочек, он может попытаться оставить Петю в сложной ситуации. Но Петя, заранее определяющий, кто выигрывает, должен иметь выигрышную стратегию.

Выигрышная стратегия Пети:

Петя может выиграть, если будет играть «зеркально» или следовать стратегии «чёт-нечёт».

Общее число палочек: 100.

Игроки берут по одной палочке. Всего будет \( 100 - 3 = 97 \) ходов.

Вася делает ходы №1, 3, 5, ..., 97 (всего 49 ходов).

Петя делает ходы №2, 4, 6, ..., 96 (всего 48 ходов).

Таким образом, Вася сделает на один ход больше, чем Петя.

Задача с треугольником:

Петя заранее знает, что если он сможет оставить Васю с тремя палочками, из которых НЕЛЬЗЯ составить треугольник, то он (Петя) выиграет. Или наоборот, если Вася сможет оставить Петю с палочками, из которых НЕЛЬЗЯ составить треугольник, то Вася выиграет.

Петя имеет выигрышную стратегию.

Он может всегда уравнивать шансы. Например, если Вася берет короткую палочку, Петя берет длинную, и наоборот. Или если Вася берет палочку со значением \( x \), Петя берет палочку со значением \( 101 - x \).

Однако, у нас есть 100 палочек, а нужно оставить 3. Общее количество ходов — 97.

Вася ходит 49 раз, Петя — 48 раз.

Предположим, Петя имеет выигрышную стратегию. Он должен так играть, чтобы в конце остались три палочки, из которых НЕЛЬЗЯ составить треугольник. Или он должен иметь возможность создать такую ситуацию, чтобы Вася был вынужден оставить три палочки, из которых МОЖНО составить треугольник.

Логика Пети:

Петя знает, что Вася хочет, чтобы осталась комбинация, из которой НЕЛЬЗЯ составить треугольник (например, 1, 2, 4). Вася сделает свой последний ход (97-й ход), и останется 3 палочки.

Если Петя сможет гарантировать, что для Васи останутся три палочки, из которых НЕЛЬЗЯ составить треугольник, то Петя выигрывает (т.к. Вася, совершая последний ход, оставит Петю в проигрышной ситуации).

Рассмотрим простейший случай:

Палочки: 1, 2, 3, 4.

Остается 3 палочки. Всего ходов: 1.

Вася берет 1 палочку. Остается 3.

Если Вася берет 1, остаются 2, 3, 4. Из них можно составить треугольник (2+3>4). Петя выигрывает.

Если Вася берет 2, остаются 1, 3, 4. Из них можно составить треугольник (1+3>4). Петя выигрывает.

Если Вася берет 3, остаются 1, 2, 4. Из них НЕЛЬЗЯ составить треугольник (1+2 < 4). Вася выигрывает.

Если Вася берет 4, остаются 1, 2, 3. Из них можно составить треугольник (1+2=3, но 1+2>3 не выполняется, это не строго больше). Но по условию «можно сложить треугольник», значит, 1, 2, 3 - не подходят. Вася выигрывает.

В данном случае, Вася может выиграть, если возьмет 3 или 4.

Возвращаемся к 100 палочкам.

Петя должен просчитать, какие три палочки могут остаться. Петя может гарантировать себе победу, если сможет создать такую ситуацию, когда Вася будет вынужден оставить ему три палочки, из которых НЕЛЬЗЯ составить треугольник. Или если Петя сможет обеспечить, чтобы Вася остался с палочками, из которых МОЖНО составить треугольник.

Стратегия Пети:

Петя играет так, чтобы сумма длин оставшихся трех палочек была как можно меньше, или чтобы разница между ними была максимальной.

Учитывая, что Петя заранее определяет, кто выигрывает, это означает, что Петя имеет полный контроль над игрой и может просчитать выигрышную стратегию.

Петя может выиграть, если сможет гарантировать, что после хода Васи останутся три палочки, из которых НЕЛЬЗЯ сложить треугольник.

Выигрышная стратегия у Пети.

Петя будет стараться оставить Вам Васю с тремя палочками, из которых НЕЛЬЗЯ составить треугольник.

Пример:

Пусть остаются палочки 1, 2, 3. Из них НЕЛЬЗЯ составить треугольник (1+2=3, не строго больше).

Пусть остаются палочки 1, 2, 4. Из них НЕЛЬЗЯ составить треугольник (1+2<4).

Петя знает, что Вася хочет избежать ситуации, когда из трех палочек МОЖНО составить треугольник.

Петя, имея выигрышную стратегию, будет стремиться оставить Вам Васю с набором палочек, которые не удовлетворяют условию треугольника (сумма двух меньше третьей, или равна).

Финальный ход:

Всего 97 ходов. Вася делает 49 ходов, Петя — 48.

Ход № 97 делает Вася. Он берет одну палочку, и остаются 3.

Петя должен так играть, чтобы три оставшиеся палочки НЕ МОГЛИ составить треугольник. Или наоборот, чтобы Вася был вынужден оставить палочки, из которых МОЖНО составить треугольник.

Выигрышная стратегия у Пети.

Он может парами брать палочки \( i \) и \( 101-i \).

Если Вася берет палочку \( k \), Петя берет палочку \( 101-k \).

Так как ходов 97 (нечетное число), последний ход делает Вася.

Петя должен так играть, чтобы после его хода не осталось пар \( (k, 101-k) \) и чтобы Вася не смог составить треугольник.

Вывод: Петя заранее определяет, кто выигрывает, потому что он может простроить свою игру так, чтобы гарантировать себе победу. Он может парировать ходы Васи, выбирая палочки, которые либо дополняют его до пары \( (k, 101-k) \), либо не дают Васе создать комбинацию для треугольника.

Ответ: Выигрышная стратегия у Пети.