6. Жильцы всех квартир на одном этаже решили повесить на двери новые номера и попросили кооператив изготовить для этого семь цифр. Квартир на этаже больше одной. Кооператив за изготовление каждой цифры берет столько рублей, каково её значение (в частности, нули бесплатны), жильцы собрали с каждой квартиры по три рубля, и этого хватило. Сколько и каких цифр было заказано?

Решение:

1. Обозначим количество квартир на этаже через \( n \).

2. Из условия известно, что \( n > 1 \).

3. Жильцы собрали \( 3n \) рублей.

4. Кооператив изготовил \( n \) цифр.

5. Стоимость изготовления цифры равна её значению. Нули бесплатны.

6. Сумма, потраченная на изготовление цифр, равна \( 3n \).

7. Давайте предположим, что были заказаны цифры от 1 до \( n \) (так как нули бесплатны, и квартиры больше одной).

8. Стоимость изготовления всех цифр: \( 1+2+3+...+n = \frac{n(n+1)}{2} \).

9. Приравниваем собранную сумму к стоимости изготовления цифр: \( 3n = \frac{n(n+1)}{2} \).

10. Умножаем обе стороны на 2: \( 6n = n(n+1) \).

11. Так как \( n > 1 \), мы можем разделить обе стороны на \( n \): \( 6 = n+1 \).

12. Находим \( n \): \( n = 6 - 1 = 5 \).

13. Следовательно, на этаже 5 квартир.

14. Было заказано 5 цифр.

15. Поскольку \( n=5 \) и нули бесплатны, то были заказаны цифры 1, 2, 3, 4, 5.

16. Проверим стоимость: \( 1+2+3+4+5 = 15 \) рублей.

17. Собранная сумма: \( 3 × 5 = 15 \) рублей.

18. Стоимость совпадает с собранной суммой.

Ответ: Было заказано 5 цифр: 1, 2, 3, 4, 5.