9. (3 балла) В прямоугольном треугольнике ABC (ZC' = 90°) проведена высота CD. Гипотенуза АВ равна 10см. СВА = 30°. Найдите BD.

Решение:

В прямоугольном треугольнике ABC \( \angle C = 90° \), \( AB = 10 \) см, \( \angle B = 30° \). CD — высота.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. Мы можем найти длину катета AC, используя синус угла B:

\( \sin B = \frac{AC}{AB} \)

\( \sin 30° = \frac{AC}{10} \)

\( \frac{1}{2} = \frac{AC}{10} \)

\( AC = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. Угол \( \angle B = 30° \). CD — катет, противолежащий углу B. BD — гипотенуза треугольника BCD.

В прямоугольном треугольнике BCD, катет, противолежащий углу в 30°, равен половине гипотенузы. Однако, мы ищем BD, которая является гипотенузой в треугольнике BCD, но частью гипотенузы AB в треугольнике ABC. В треугольнике ABC, катет BC, прилежащий к углу B, можно найти через косинус:

\( \cos B = \frac{BC}{AB} \)

\( \cos 30° = \frac{BC}{10} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{10} \)

\( BC = 10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3} \) см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. Угол \( \angle B = 30° \). BD — гипотенуза треугольника BCD, а BC — прилежащий катет к углу B.

В треугольнике BCD, \( \angle CDB = 90° \) (так как CD — высота).

Используем косинус угла B в треугольнике BCD:

\( \cos B = \frac{BD}{BC} \)

\( \cos 30° = \frac{BD}{5\sqrt{3}} \)

\( \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BD}{5\sqrt{3}} \)

\( BD = 5\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \)

\( BD = \frac{5 \cdot 3}{2} \)

\( BD = \frac{15}{2} \)

\( BD = 7.5 \) см.

Ответ: BD = 7.5 см