9.2 Перед тем, как начать движение, тепловоз издал гудок с частотой f₀ = 728 Гц. Чуть позже издал гудок подъезжающий к платформе тепловоз. Из-за эффекта Доплера частота второго гудка f больше первого: она зависит от скорости тепловоза по закону f(v) = f₀ / (1 - v/c), где c - скорость звука (в м/с). Работник железной дороги, который стоял на платформе, различает сигналы по тону, если они отличаются не менее, чем на 7 Гц. Определите, с какой минимальной скоростью приближался к платформе тепловоз, если человек заметил разницу в сигналах, а c = 315 м/с. Ответ выразите в м/с.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Дано:

Формула для частоты \( f \), воспринимаемой наблюдателем при приближении источника звука:

\( f = \frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}} \)

Мы знаем, что человек замечает разницу, когда \( f - f_0 \ge 7 \) Гц.

Подставим \( f \) в неравенство:

\( \frac{f_0}{1 - \frac{v}{c}} - f_0 \ge 7 \)

Вынесем \( f_0 \) за скобки:

\( f_0 \left( \frac{1}{1 - \frac{v}{c}} - 1 \right) \ge 7 \)

Подставим известные значения \( f_0 \) и \( c \):

\( 728 \left( \frac{1}{1 - \frac{v}{315}} - 1 \right) \ge 7 \)

Разделим обе стороны на 728:

\( \frac{1}{1 - \frac{v}{315}} - 1 \ge \frac{7}{728} \)

\( \frac{1}{1 - \frac{v}{315}} - 1 \ge \frac{1}{104} \)

Прибавим 1 к обеим сторонам:

\( \frac{1}{1 - \frac{v}{315}} \ge 1 + \frac{1}{104} \)

\( \frac{1}{1 - \frac{v}{315}} \ge \frac{105}{104} \)

Теперь перевернём обе части неравенства, меняя знак на противоположный:

\( 1 - \frac{v}{315} \le \frac{104}{105} \)

Вычтем 1 из обеих сторон:

\( - \frac{v}{315} \le \frac{104}{105} - 1 \)

\( - \frac{v}{315} \le \frac{104 - 105}{105} \)

\( - \frac{v}{315} \le - \frac{1}{105} \)

Умножим обе стороны на -1 и сменим знак неравенства:

\( \frac{v}{315} \ge \frac{1}{105} \)

Умножим обе стороны на 315, чтобы найти \( v \):

\( v \ge \frac{315}{105} \)

\( v \ge 3 \)

Минимальная скорость приближения тепловоза равна 3 м/с.

Ответ: 3 м/с.