9. (2 балла) Точка О- центр квадрата со стороной 9см. ОМ ⊥ (ABCD): ОМ =5см. Найдите МС

Решение:

Дано: Квадрат ABCD со стороной \( a = 9 \) см. Точка O — центр квадрата. \( OM \perp (ABCD) \), \( OM = 5 \) см. Найти MC.

1. Найдем расстояние от центра квадрата O до вершины C. Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} = 9\sqrt{2} \) см. Центр квадрата делит диагональ пополам, поэтому \( OC = \frac{d}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2} \) см.

2. Треугольник OMC является прямоугольным, так как OM перпендикулярна плоскости квадрата ABCD, а значит, перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку O, в том числе и прямой OC.

3. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника OMC:

$$MC^2 = OM^2 + OC^2$$

$$MC^2 = 5^2 + \left(\frac{9\sqrt{2}}{2}\right)^2$$

$$MC^2 = 25 + \frac{81 \cdot 2}{4}$$

$$MC^2 = 25 + \frac{162}{4}$$

$$MC^2 = 25 + 40,5$$

$$MC^2 = 65,5$$

$$MC = \sqrt{65,5} \text{ см}$$

Ответ: \(\sqrt{65,5}\) см.