861 Упростите: a) 0,5 tg a sin 2a+cos 2 a; 6) sin 2ẞ cos 2ẞ + sin 2 ẞ

Решение:

1. Задание а)

   Используем формулу синуса двойного угла: $$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$$.

   $$\qquad 0,5 \operatorname{tg} \alpha \sin 2\alpha + \cos^2 \alpha = \frac{1}{2} \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} (2 \sin \alpha \cos \alpha) + \cos^2 \alpha$$

   $$\qquad = \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$$

   Используем основное тригонометрическое тождество: $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$.

   $$\qquad = 1$$

2. Задание б)

   Используем формулу синуса двойного угла: $$\sin 2\beta = 2 \sin \beta \cos \beta$$.

   $$\qquad \frac{\sin 2\beta}{\cos 2\beta + \sin^2 \beta} = \frac{2 \sin \beta \cos \beta}{\cos 2\beta + \sin^2 \beta}$$

   Используем формулу косинуса двойного угла: $$\cos 2\beta = \cos^2 \beta - \sin^2 \beta$$.

   $$\qquad = \frac{2 \sin \beta \cos \beta}{(\cos^2 \beta - \sin^2 \beta) + \sin^2 \beta} = \frac{2 \sin \beta \cos \beta}{\cos^2 \beta}$$

   $$\qquad = 2 \frac{\sin \beta}{\cos \beta} = 2 \operatorname{tg} \beta$$

Ответ: а) 1; б) 2 tg ẞ