8. Треугольник АВС равнобедренный, АС — его основание, ДАВС = 50°. Точка D симметрична вершине А относительно прямой ВС. Найдите ∠ADB.

Решение:

1. Анализ треугольника АВС:

   Треугольник АВС равнобедренный с основанием АС. Это означает, что $$AB = BC$$ и $$∠ BAC = ∠ BCA$$.

   Сумма углов в треугольнике равна 180°. Найдем углы при основании:

   $$∠ BAC + ∠ BCA + ∠ ABC = 180^°$$

   $$2 × ∠ BAC + 50^° = 180^°$$

   $$2 × ∠ BAC = 130^°$$

   $$∠ BAC = ∠ BCA = 65^°$$.

2. Симметричное расположение точки D:

   Точка D симметрична точке А относительно прямой ВС. Это означает, что:

   • Прямая ВС является серединным перпендикуляром к отрезку AD.
   • $$AD ⊥ BC$$.
   • Точка пересечения AD и BC (пусть это будет точка Е) является серединой AD, т.е. $$AE = ED$$.

   Так как $$AD ⊥ BC$$, то $$∠ AEB = 90^°$$.

3. Рассмотрим треугольники АВЕ и DBE:

   Эти треугольники прямоугольные ($$∠ AEB = 90^°$$).

   $$AB = BC$$ (по условию).

   $$AE = ED$$ (по свойству симметрии).

   Общая сторона $$BE$$.

   По трем сторонам (признак равенства треугольников), $$△ ABE = △ DBE$$.

   Следовательно, соответствующие углы равны:

   $$∠ BAE = ∠ BDE$$

   $$∠ ABE = ∠ DBE$$

   Поскольку $$∠ ABE = ∠ ABC = 50^°$$, то $$∠ DBE = 50^°$$.

4. Найдем ∠ADB:

   $$∠ ADB = ∠ BAE + ∠ BDE$$. Поскольку $$∠ BAE = ∠ BDE$$, то $$∠ ADB = 2 × ∠ BAE$$.

   В прямоугольном треугольнике АВЕ:

   $$∠ BAE = 90^° - ∠ ABE = 90^° - 50^° = 40^°$$.

   Тогда $$∠ ADB = 2 × 40^° = 80^°$$.

Ответ: ∠ADB = 80°