8. Сколько целых чисел расположено между 5√7 и 7√5?

Решение:

Возведём числа в квадрат, чтобы сравнить их с целыми числами:

\( (5\sqrt{7})^2 = 5^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = 25 \cdot 7 = 175 \)

\( (7\sqrt{5})^2 = 7^2 \cdot (\sqrt{5})^2 = 49 \cdot 5 = 245 \)

Теперь найдём ближайшие полные квадраты к 175 и 245:

\[ 13^2 = 169 \]

\[ 14^2 = 196 \]

\[ 15^2 = 225 \]

\[ 16^2 = 256 \]

Таким образом, \( \sqrt{175} \) находится между 13 и 14 (ближе к 13), а \( \sqrt{245} \) находится между 15 и 16 (ближе к 16).

Значит, \( 5\sqrt{7} \) примерно равно 13,2, а \( 7\sqrt{5} \) примерно равно 15,6.

Целые числа, расположенные между 13,2 и 15,6: 14 и 15.

Их два.

Ответ: 2