8. Решите систему уравнений \( \begin{cases} \frac{2x+3y}{4} + \frac{3x-2y}{5} = -\frac{1}{20} \\ \frac{3x+4y}{2} + \frac{5x-y}{3} = \frac{43}{6} \end{cases} \)

Решение:

Упростим первое уравнение, умножив обе части на 20:

\( 5(2x+3y) + 4(3x-2y) = -1 \)

\( 10x + 15y + 12x - 8y = -1 \)

\( 22x + 7y = -1 \) (1)

Упростим второе уравнение, умножив обе части на 6:

\( 3(3x+4y) + 2(5x-y) = 43 \)

\( 9x + 12y + 10x - 2y = 43 \)

\( 19x + 10y = 43 \) (2)

Теперь у нас есть система:

\( \begin{cases} 22x + 7y = -1 \\ 19x + 10y = 43 \end{cases} \)

Умножим первое уравнение на 10, а второе на 7, чтобы исключить \( y \):

\( 220x + 70y = -10 \)

\( 133x + 70y = 301 \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (220x - 133x) + (70y - 70y) = -10 - 301 \)

\( 87x = -311 \)

\( x = -\frac{311}{87} \)

Подставим \( x \) в уравнение (1):

\( 22(-\frac{311}{87}) + 7y = -1 \)

\( -\frac{6842}{87} + 7y = -1 \)

\( 7y = -1 + \frac{6842}{87} \)

\( 7y = \frac{-87 + 6842}{87} \)

\( 7y = \frac{6755}{87} \)

\( y = \frac{6755}{87 \cdot 7} \)

\( y = \frac{965}{87} \)

Ответ: \( x = -\frac{311}{87}, y = \frac{965}{87} \).