8. Повар испёк 50 рогаликов, из них 15 рогаликов он посыпал корицей, а 20 рогаликов посыпал сахаром. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях. 1) Найдётся 10 рогаликов, которые ничем не посыпаны. 2) Если рогалик посыпан сахаром, то он посыпан и корицей. 3) Не может оказаться больше 20 рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей. 4) Найдётся 20 рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

1. Анализ условий:

• Всего рогаликов: 50.
• С корицей: 15.
• С сахаром: 20.

2. Проверка утверждений:

Утверждение 1: Найдётся 10 рогаликов, которые ничем не посыпаны.

• Это возможно, но не обязательно. Максимальное количество рогаликов, посыпанных хотя бы чем-то, равно 15 (корица) + 20 (сахар) = 35.
• В этом случае останется 50 - 35 = 15 рогаликов, ничем не посыпанных.
• Минимальное количество рогаликов, ничем не посыпанных, будет, если рогалики с сахаром и корицей частично совпадают.
• Пусть 15 рогаликов с корицей. Из 20 с сахаром, пусть 15 еще и с корицей. Тогда 5 рогаликов только с сахаром. Всего посыпано 15 (с корицей, из них 15 и с сахаром) + 5 (только с сахаром) = 20. Такое количество тоже возможно.
• Пусть 15 рогаликов с корицей. Из 20 с сахаром, пусть 0 и с корицей. Тогда 15 (только с корицей) + 20 (только с сахаром) = 35. 15 ничем не посыпаны.
• Пусть 15 рогаликов с корицей. Из 20 с сахаром, пусть 10 и с корицей. Тогда 5 (только с корицей) + 10 (с корицей и сахаром) + 10 (только с сахаром) = 25. 25 ничем не посыпаны.
• Вывод: Утверждение 1 может быть верным, но не обязательно.

Утверждение 2: Если рогалик посыпан сахаром, то он посыпан и корицей.

• Это означало бы, что все 20 рогаликов с сахаром также посыпаны корицей.
• В этом случае, помимо этих 20, ещё 0 рогаликов были бы посыпаны только корицей.
• Общее количество посыпанных рогаликов = 20.
• Но у нас есть 15 рогаликов с корицей. Это противоречит условию, что все 20 рогаликов с сахаром посыпаны корицей (т.к. тогда корицей посыпано минимум 20 рогаликов).
• Вывод: Утверждение 2 неверно.

Утверждение 3: Не может оказаться больше 20 рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей.

• Количество рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей, не может превышать наименьшее количество из тех, что посыпаны сахаром (20) и корицей (15).
• Следовательно, количество рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей, не может быть больше 15.
• Утверждение гласит, что не может оказаться больше 20. Так как максимум 15, то утверждение верно.
• Вывод: Утверждение 3 верно.

Утверждение 4: Найдётся 20 рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей.

• Как мы выяснили в пункте 3, максимальное количество рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей, равно 15.
• Поэтому утверждение, что найдётся 20 таких рогаликов, неверно.
• Вывод: Утверждение 4 неверно.

3. Формирование ответа:

Верными являются утверждения 1 и 3. Записываем номера без пробелов и запятых: 13.

Примечание: В некоторых задачах подобного типа, если не указано иное, подразумевается, что множества могут пересекаться. Если бы утверждение 1 было обязательно верно, то ответ был бы 1 и 3. Однако, так как оно не обязательно верно, и только утверждение 3 гарантированно верно, то ответ скорее всего 3.

Перепроверим условие "Найдётся 10 рогаликов, которые ничем не посыпаны".

Пусть $$K$$ - множество рогаликов с корицей, $$S$$ - множество рогаликов с сахаром.

$$|K| = 15$$, $$|S| = 20$$, $$|Total| = 50$$.

Нас интересует $$|K ext{ ∩ } S|$$ (количество с сахаром и корицей) и $$|Total| - |K ext{ ∪ } S|$$ (количество ничем не посыпаных).

$$|K ext{ ∪ } S| = |K| + |S| - |K ext{ ∩ } S| = 15 + 20 - |K ext{ ∩ } S| = 35 - |K ext{ ∩ } S|$$.

Количество ничем не посыпаных: $$50 - (35 - |K ext{ ∩ } S|) = 15 + |K ext{ ∩ } S|$$.

Минимальное значение $$|K ext{ ∩ } S|$$: 0 (если множества не пересекаются). Тогда ничем не посыпаных = 15 + 0 = 15.

Максимальное значение $$|K ext{ ∩ } S|$$: 15 (т.к. $$|K|=15$$). Тогда ничем не посыпаных = 15 + 15 = 30.

Итак, количество ничем не посыпаных рогаликов лежит в диапазоне [15, 30].

Утверждение 1: Найдётся 10 рогаликов, которые ничем не посыпаны.

Так как минимальное количество ничем не посыпаных - 15, то утверждение, что найдется 10, верно.

Утверждение 3: Не может оказаться больше 20 рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей.

Максимальное количество рогаликов, посыпанных и сахаром, и корицей, равно 15. Так как 15 < 20, то утверждение верно.

Таким образом, верны утверждения 1 и 3.

Ответ: 13