8. Постройте прямоугольник ABCD, если А (-4;5), C(3;-2). Найдите координаты точки В и вычислите периметр прямоугольника.

Пояснение к построению:

Для построения прямоугольника и нахождения координат точки B, воспользуемся тем, что противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны. Также, диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Определим координаты середины диагонали AC. Середина отрезка находится как среднее арифметическое координат его концов:
   \( x_{mid} = \frac{x_A + x_C}{2} = rac{-4 + 3}{2} = rac{-1}{2} = -0,5 \)
   \( y_{mid} = rac{y_A + y_C}{2} = rac{5 + (-2)}{2} = rac{3}{2} = 1,5 \>
   Таким образом, середина диагонали AC имеет координаты (-0,5; 1,5).
2. Шаг 2: Точка пересечения диагоналей прямоугольника является серединой обеих диагоналей. Следовательно, координаты середины диагонали BD также равны (-0,5; 1,5).
3. Шаг 3: Пусть координаты точки B будут (x_B; y_B). Используем формулу середины отрезка для диагонали BD:
   \( x_{mid} = rac{x_B + x_D}{2} \) и \( y_{mid} = rac{y_B + y_D}{2} \>.
   Однако, у нас нет координат точки D. Воспользуемся тем, что стороны прямоугольника параллельны осям координат (если не указано иное, и вершины имеют общие координаты по x или y).
   Если A = (-4; 5) и C = (3; -2), то возможные координаты для B и D будут следующими:
   Если AB параллельна оси X, то y_B = y_A = 5. Если BC параллельна оси Y, то x_B = x_C = 3.
   Тогда координаты точки B будут (3; 5).
   Проверим это:
   Если B = (3; 5), то D должно быть (-4; -2) (чтобы AB была параллельна CD и BC параллельна AD).
   Проверим середину диагонали BD:
   \( x_{mid} = rac{3 + (-4)}{2} = rac{-1}{2} = -0,5 \)
   \( y_{mid} = rac{5 + (-2)}{2} = rac{3}{2} = 1,5 \>
   Эти координаты совпадают с серединой диагонали AC.
   Следовательно, координаты точки B = (3; 5).
4. Шаг 4: Найдем длину сторон прямоугольника AB и BC.
   Длина AB (по горизонтали): \( |x_B - x_A| = |3 - (-4)| = |3 + 4| = 7 \)
5. Шаг 5: Длина BC (по вертикали): \( |y_C - y_B| = |-2 - 5| = |-7| = 7 \)
6. Шаг 6: Вычислим периметр прямоугольника. Периметр равен удвоенной сумме длин смежных сторон:
   \( P = 2 \cdot (AB + BC) = 2 \cdot (7 + 7) = 2 \cdot 14 = 28 \>

Ответ: Координаты точки B: (3; 5). Периметр прямоугольника: 28.