8. Постройте на координатной плоскости а) точки М, Р, Е, К, если М(-3; 0), F(4; 6), E(0; -4); K(-3; 5). б) Определите координату точки пересечения прямых MF и КЕ.

Решение:

а) Построение точек:

Отмечаем точки на координатной плоскости по заданным координатам.

б) Определение точки пересечения прямых MF и КЕ:

1. Найдём уравнение прямой MF.

Точки: \( M(-3; 0) \) и \( F(4; 6) \).

Угловой коэффициент \( k_{MF} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{6 - 0}{4 - (-3)} = \frac{6}{7} \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k_{MF}(x - x_1) \)

\( y - 0 = \frac{6}{7}(x - (-3)) \)

\( y = \frac{6}{7}x + \frac{18}{7} \)

2. Найдём уравнение прямой КЕ.

Точки: \( K(-3; 5) \) и \( E(0; -4) \).

Угловой коэффициент \( k_{KE} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{-4 - 5}{0 - (-3)} = \frac{-9}{3} = -3 \).

Уравнение прямой: \( y - y_1 = k_{KE}(x - x_1) \)

\( y - (-4) = -3(x - 0) \)

\( y + 4 = -3x \)

\( y = -3x - 4 \)

3. Найдём точку пересечения, приравняв уравнения прямых:

\( \frac{6}{7}x + \frac{18}{7} = -3x - 4 \)

Умножим всё на 7:

\( 6x + 18 = -21x - 28 \)

\( 6x + 21x = -28 - 18 \)

\( 27x = -46 \)

\( x = -\frac{46}{27} \)

Подставим \( x \) в уравнение прямой КЕ:

\( y = -3 \cdot \left(-\frac{46}{27}\right) - 4 = \frac{3 \cdot 46}{27} - 4 = \frac{46}{9} - \frac{36}{9} = \frac{10}{9} \)

Ответ: Координаты точки пересечения прямых MF и КЕ: \( \left(-\frac{46}{27}; \frac{10}{9}\right) \).