8. Отметьте на координатной плоскости точки К (-4; 6), М (6; 2), N (-8; -2), L (7; 3). Проведите прямые КМ и NL. Найдите координаты точки пересечения этих прямых.

Решение:

Для решения этой задачи нам нужно найти уравнения прямых КМ и NL, а затем решить систему этих уравнений.

1. Найдём уравнение прямой КМ.

Точки: К(-4; 6), М(6; 2).

Уравнение прямой имеет вид \( y = kx + b \).

Подставим координаты точек:

• Для К: \( 6 = k(-4) + b \Rightarrow -4k + b = 6 \)
• Для М: \( 2 = k(6) + b \Rightarrow 6k + b = 2 \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (6k + b) - (-4k + b) = 2 - 6 \)

\( 6k + b + 4k - b = -4 \)

\( 10k = -4 \)

\( k = -0.4 \)

Подставим \( k \) в первое уравнение, чтобы найти \( b \):

\( -4(-0.4) + b = 6 \)

\( 1.6 + b = 6 \)

\( b = 6 - 1.6 = 4.4 \)

Уравнение прямой КМ: \( y = -0.4x + 4.4 \)

2. Найдём уравнение прямой NL.

Точки: N(-8; -2), L(7; 3).

Подставим координаты точек:

• Для N: \( -2 = k(-8) + b \Rightarrow -8k + b = -2 \)
• Для L: \( 3 = k(7) + b \Rightarrow 7k + b = 3 \)

Вычтем первое уравнение из второго:

\( (7k + b) - (-8k + b) = 3 - (-2) \)

\( 7k + b + 8k - b = 3 + 2 \)

\( 15k = 5 \)

\( k = \frac{5}{15} = \frac{1}{3} \)

Подставим \( k \) во второе уравнение, чтобы найти \( b \):

\( 7(\frac{1}{3}) + b = 3 \)

\( \frac{7}{3} + b = 3 \)

\( b = 3 - \frac{7}{3} = \frac{9}{3} - \frac{7}{3} = \frac{2}{3} \)

Уравнение прямой NL: \( y = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \)

3. Найдем точку пересечения прямых КМ и NL.

Приравняем уравнения прямых:

\( -0.4x + 4.4 = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \)

Переведём \( -0.4 \) в дробь \( -\frac{2}{5} \):

\( -\frac{2}{5}x + \frac{44}{10} = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \)

\( -\frac{2}{5}x + \frac{22}{5} = \frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \)

Перенесём члены с \( x \) в одну сторону, а числа — в другую:

\( \frac{22}{5} - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}x + \frac{2}{5}x \)

Приведём к общему знаменателю (15):

\( \frac{22 \times 3}{15} - \frac{2 \times 5}{15} = \frac{1 \times 5}{15}x + \frac{2 \times 3}{15}x \)

\( \frac{66 - 10}{15} = \frac{5 + 6}{15}x \)

\( \frac{56}{15} = \frac{11}{15}x \)

Умножим обе части на 15:

\( 56 = 11x \)

\( x = \frac{56}{11} \)

Теперь найдём \( y \), подставив \( x \) в одно из уравнений. Возьмём уравнение прямой NL:

\( y = \frac{1}{3} \times \frac{56}{11} + \frac{2}{3} \)

\( y = \frac{56}{33} + \frac{2 \times 11}{3 \times 11} \)

\( y = \frac{56}{33} + \frac{22}{33} \)

\( y = \frac{56 + 22}{33} = \frac{78}{33} \)

Сократим дробь \( \frac{78}{33} \) на 3:

\( y = \frac{26}{11} \)

Ответ: Точка пересечения прямых имеет координаты \( (\frac{56}{11}; \frac{26}{11}) \).