8. Основания равнобокой трапеции равны 15 см и 33 см, а диагональ делит ее острый угол пополам. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть дана равнобокая трапеция ABCD, где \( AD \) и \( BC \) — основания, \( AD = 33 \) см, \( BC = 15 \) см. Боковые стороны \( AB = CD \).

Пусть диагональ \( AC \) делит пополам острый угол \( ∠ DAB \). Обозначим \( ∠ DAC = ∠ CAB = α \).

Так как трапеция равнобокая, \( AB = CD \). Углы при основании равны, \( ∠ DAB = ∠ CDA = 2α \), \( ∠ ABC = ∠ BCD = 180° - 2α \).

Рассмотрим треугольник ABC. Угол \( ∠ BCA \) и \( ∠ CAD \) являются накрест лежащими при параллельных основаниях AD и BC и секущей AC. Следовательно, \( ∠ BCA = ∠ CAD = α \).

В треугольнике ABC имеем: \( ∠ CAB = α \) и \( ∠ BCA = α \). Это означает, что треугольник ABC равнобедренный с основанием AB. Следовательно, \( BC = AB \).

Так как трапеция равнобокая, то \( AB = CD \).

Из равенства \( BC = AB \) следует, что \( BC = AB = CD \).

По условию \( BC = 15 \) см, значит \( AB = CD = 15 \) см.

Теперь найдем высоту трапеции.

Проведем высоты из вершин B и C к основанию AD. Пусть эти высоты — \( BH_1 \) и \( CK_1 \). В прямоугольных треугольниках ABH_1 и CDK_1:

\( AH_1 = DK_1 = \frac{AD - BC}{2} = \frac{33 - 15}{2} = \frac{18}{2} = 9 \) см.

В прямоугольном треугольнике ABH_1, по теореме Пифагора:

\( AB^2 = AH_1^2 + BH_1^2 \)

\( 15^2 = 9^2 + BH_1^2 \)

\( 225 = 81 + BH_1^2 \)

\( BH_1^2 = 225 - 81 = 144 \)

\( BH_1 = √{144} = 12 \) см.

Высота трапеции \( h = BH_1 = 12 \) см.

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a + b}{2} \times h \), где \( a \) и \( b \) — основания, \( h \) — высота.

\( S = \frac{33 \text{ см} + 15 \text{ см}}{2} \times 12 \text{ см} \)

\( S = \frac{48 \text{ см}}{2} \times 12 \text{ см} \)

\( S = 24 \text{ см} \times 12 \text{ см} = 288 \text{ см}^2 \).

Ответ: 288 см².