7. Отрезок BD — высота треугольника ABC, изображенного на рисунке, AB = 2√3 см, BC = 3.5 см. Какова длина отрезка CD?

Решение:

На рисунке изображен прямоугольный треугольник ABC с высотой BD, проведенной к гипотенузе. Треугольник ABD и CBD подобны треугольнику ABC и друг другу.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD. По теореме Пифагора: \( AD^2 + BD^2 = AB^2 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник CBD. По теореме Пифагора: \( CD^2 + BD^2 = BC^2 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора: \( AB^2 + BC^2 = AC^2 \). Также, \( AC = AD + CD \).

Мы знаем, что \( AB = 2√3 \) см и \( BC = 3.5 \) см. Угол BAC = 60°.

В прямоугольном треугольнике ABC:

\( C = 90^{\circ} \)

\( B = 60^{\circ} \)

\( A = 30^{\circ} \)

\( BD = AB \cdot \sin A = 2√3 \cdot \sin 30^{\circ} = 2√3 \cdot \frac{1}{2} = √3 \) см.

\( AD = AB \cdot \cos A = 2√3 \cdot \cos 30^{\circ} = 2√3 \cdot \frac{√3}{2} = 3 \) см.

Теперь найдем CD, используя подобие треугольников CBD и ABC:

\( D = 90^{\circ} \)

\( B = 60^{\circ} \)

\( C = 30^{\circ} \)

\( CD = BC \cdot \cos C = 3.5 \cdot \cos 30^{\circ} = 3.5 \cdot \frac{√3}{2} = \frac{3.5√3}{2} = 1.75√3 \) см.

Ответ: 1.75√3 см.