8. Найдите значение выражения \(\sqrt{c^2 + 14ct + 49t^2}\) при \(c = \frac{8}{5}\), \(t = \frac{1}{12}\).

Решение:

Выражение под корнем представляет собой полный квадрат: \( c^2 + 14ct + 49t^2 = (c + 7t)^2 \).

Тогда \(\sqrt{c^2 + 14ct + 49t^2} = \sqrt{(c + 7t)^2} = |c + 7t|\).

Подставим значения \( c = \frac{8}{5} \) и \( t = \frac{1}{12} \):

\[ |\frac{8}{5} + 7 \cdot \frac{1}{12}| = |\frac{8}{5} + \frac{7}{12}| \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ |\frac{8 \cdot 12}{5 \cdot 12} + \frac{7 \cdot 5}{12 \cdot 5}| = |\frac{96}{60} + \frac{35}{60}| = |\frac{96 + 35}{60}| = |\frac{131}{60}| = \frac{131}{60} \]

Переведём в десятичную дробь:

\[ \frac{131}{60} \approx 2.1833... \]

Округлим до сотых: \( 2.18 \)

Ответ: \(\frac{131}{60}\) или \( 2.18 \).