1) x² + 6x > 0

Решение:

Это квадратичное неравенство. Чтобы его решить, найдём корни соответствующего уравнения \( x^2 + 6x = 0 \).

Вынесем \( x \) за скобки:

\[ x(x + 6) = 0 \]

Корни уравнения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = -6 \).

Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -6) \), \( (-6, 0) \) и \( (0, +\infty) \).

Определим знак выражения \( x^2 + 6x \) на каждом интервале. Парабола \( y = x^2 + 6x \) ветвями вверх, поэтому:

• На интервале \( (-\infty, -6) \) выражение положительное (например, при \( x = -7 \), \( (-7)(-1) = 7 > 0 \)).
• На интервале \( (-6, 0) \) выражение отрицательное (например, при \( x = -1 \), \( (-1)(5) = -5 < 0 \)).
• На интервале \( (0, +\infty) \) выражение положительное (например, при \( x = 1 \), \( (1)(7) = 7 > 0 \)).

Нам нужно, чтобы \( x^2 + 6x > 0 \), то есть выражение было положительным.

Решением являются интервалы \( (-\infty, -6) \) и \( (0, +\infty) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -6) \cup (0, +\infty) \).