8. Найдите значение выражения \( \frac{pq}{p+q} \cdot \left( \frac{q-p}{p} - \frac{q}{q} \right) \) при \( p = 3 - 2\sqrt{2}, q = -2\sqrt{2} \).

Решение:

Сначала упростим выражение:

\( \frac{pq}{p+q} \cdot \left( \frac{q-p}{p} - \frac{p}{p} \right) = \frac{pq}{p+q} \cdot \frac{q-p-p}{p} = \frac{pq}{p+q} \cdot \frac{q-2p}{p} = \frac{q(q-2p)}{p+q} \)

Теперь подставим значения \( p = 3 - 2\sqrt{2} \) и \( q = -2\sqrt{2} \).

\( p+q = (3 - 2\sqrt{2}) + (-2\sqrt{2}) = 3 - 4\sqrt{2} \)

\( q - 2p = -2\sqrt{2} - 2(3 - 2\sqrt{2}) = -2\sqrt{2} - 6 + 4\sqrt{2} = 2\sqrt{2} - 6 \)

Подставим в упрощенное выражение:

\( \frac{q(q-2p)}{p+q} = \frac{-2\sqrt{2}(2\sqrt{2} - 6)}{3 - 4\sqrt{2}} = \frac{-4(2) + 12\sqrt{2}}{3 - 4\sqrt{2}} = \frac{-8 + 12\sqrt{2}}{3 - 4\sqrt{2}} \)

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число \( 3 + 4\sqrt{2} \):

\( \frac{(-8 + 12\sqrt{2})(3 + 4\sqrt{2})}{(3 - 4\sqrt{2})(3 + 4\sqrt{2})} = \frac{-24 - 32\sqrt{2} + 36\sqrt{2} + 96}{9 - 16(2)} = \frac{72 + 4\sqrt{2}}{9 - 32} = \frac{72 + 4\sqrt{2}}{-23} \)

Ответ: \( \frac{72 + 4\sqrt{2}}{-23} \)