8. Найдите значение выражения \( \frac{3^{13} \cdot 7^{10}}{21^{10}} \).

Решение:

Преобразуем знаменатель, используя свойство степеней \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \):

\[ 21^{10} = (3 \cdot 7)^{10} = 3^{10} \cdot 7^{10} \]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{3^{13} \cdot 7^{10}}{3^{10} \cdot 7^{10}} \]

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе, используя свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ 3^{13-10} \cdot 7^{10-10} = 3^3 \cdot 7^0 \]

Любое число в нулевой степени равно 1:

\[ 3^3 \cdot 1 = 27 \cdot 1 = 27 \]

Ответ: 27