8. Найдите синус меньшего острого угла прямоугольника с катетом 40 см и гипотенузой 41 см.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике два острых угла. Меньший острый угол лежит напротив меньшего катета.

2. Пусть катеты прямоугольного треугольника равны \( a \) и \( b \), а гипотенуза равна \( c \). По теореме Пифагора: \( a^2 + b^2 = c^2 \).

3. У нас дан один катет \( a = 40 \) см и гипотенуза \( c = 41 \) см. Найдем второй катет \( b \):

\( 40^2 + b^2 = 41^2 \)

\( 1600 + b^2 = 1681 \)

\( b^2 = 1681 - 1600 \)

\( b^2 = 81 \)

\( b = \sqrt{81} \)

\( b = 9 \) см.

4. Сравним длины катетов: \( a = 40 \) см и \( b = 9 \) см. Меньший катет — \( b = 9 \) см.

5. Меньший острый угол лежит напротив меньшего катета. Пусть этот угол равен \( \alpha \).

6. Синус острого угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе: \( \sin \alpha = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{гипотенуза}} \).

7. Для меньшего острого угла \( \alpha \) противолежащий катет равен \( b = 9 \) см, а гипотенуза \( c = 41 \) см.

\( \sin \alpha = \frac{9}{41} \).

Ответ: Синус меньшего острого угла равен \( \frac{9}{41} \).