7. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла D делит сторону BC на отрезки BK и CK. Найдите длину стороны DC, если BK = 6 см, а периметр прямоугольника равен 48 см.

Решение:

1. В прямоугольнике ABCD биссектриса угла D делит сторону BC на отрезки BK и CK. Известно, что BK = 6 см.

2. Биссектриса угла прямоугольника делит противоположную сторону. Рассмотрим биссектрису угла D. Угол D равен 90°, значит, биссектриса делит его пополам — по 45°.

3. Так как ABCD — прямоугольник, то угол B = 90° и угол C = 90°. Также AD || BC и AB || DC. Угол ADC = 90°.

4. Пусть биссектриса угла D пересекает сторону BC в точке K. Рассмотрим треугольник ABK. Угол ABK = 90°. Угол BKA — внешний угол треугольника CKD. Угол CDK = 45°.

5. В треугольнике CDK, угол DCK = 90°, угол CDK = 45°. Следовательно, угол CKD = 180° - 90° - 45° = 45°.

6. Поскольку углы C B K и C K D равны, то треугольник CD K равнобедренный, и CD = CK.

7. По условию, BK = 6 см. Мы нашли, что CK = CD. Периметр прямоугольника равен 48 см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле \( P = 2(a+b) \), где \( a \) и \( b \) — стороны прямоугольника.

\( P = 2(DC + BC) \)

\( 48 = 2(CD + BC) \)

\( 24 = CD + BC \)

8. Так как \( BC = BK + CK \), и \( CK = CD \), то \( BC = 6 + CD \).

9. Подставим в уравнение для полупериметра:

\( 24 = CD + (6 + CD) \)

\( 24 = 6 + 2CD \)

\( 24 - 6 = 2CD \)

\( 18 = 2CD \)

\( CD = 9 \) см.

Ответ: Длина стороны DC равна 9 см.