8. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения 3 cos²x + 8 cos x + 5 = 0.

Решение:

Это квадратное уравнение относительно cos x. Сделаем замену переменной.

1. Замена переменной:
   Пусть t = cos x. По определению, -1 ≤ t ≤ 1.
   Уравнение примет вид: 3t2 + 8t + 5 = 0.
2. Решаем квадратное уравнение:
   Найдем дискриминант: D = 82 - 4 ⋅ 3 ⋅ 5 = 64 - 60 = 4.
   t1 = (-8 + √4) / (2 ⋅ 3) = (-8 + 2) / 6 = -6 / 6 = -1.
   t2 = (-8 - √4) / (2 ⋅ 3) = (-8 - 2) / 6 = -10 / 6 = -5/3.
3. Проверяем условие -1 ≤ t ≤ 1:
   t1 = -1 удовлетворяет условию.
   t2 = -5/3 < -1, не удовлетворяет условию.
4. Возвращаемся к замене:
   cos x = -1.
5. Находим корни уравнения:
   x = π + 2πn, где n — целое число.
6. Находим наибольший отрицательный корень:
   Если n = 0, то x = π (положительный).
   Если n = -1, то x = π + 2π(-1) = π - 2π = -π. Это отрицательный корень.
   Если n = -2, то x = π + 2π(-2) = π - 4π = -3π (меньше, чем -π).
   Наибольший отрицательный корень — это -π.

Ответ: -π