8. Найди значение выражения \(\sqrt{12 \cdot 2^4} - \sqrt{12 \cdot 3^2}\).

Решение:

Для вычисления значения выражения упростим каждое слагаемое:

Первое слагаемое: \(\sqrt{12 \cdot 2^4}\)

• Разложим \( 12 \) на множители: \( 12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 \).
• Подставим в корень: \(\sqrt{2^2 \cdot 3 \cdot 2^4} = \sqrt{2^{2+4} \cdot 3} = \sqrt{2^6 \cdot 3}\).
• Извлечём квадратный корень: \(\sqrt{2^6 \cdot 3} = \sqrt{(2^3)^2 \cdot 3} = 2^3 \sqrt{3} = 8\sqrt{3}\).

Второе слагаемое: \(\sqrt{12 \cdot 3^2}\)

• Разложим \( 12 \) на множители: \( 12 = 4 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3 \).
• Подставим в корень: \(\sqrt{2^2 \cdot 3 \cdot 3^2} = \sqrt{2^2 \cdot 3^{1+2}} = \sqrt{2^2 \cdot 3^3}\).
• Извлечём квадратный корень: \(\sqrt{2^2 \cdot 3^3} = \sqrt{2^2 \cdot 3^2 \cdot 3} = 2 \cdot 3 \sqrt{3} = 6\sqrt{3}\).

Теперь вычтем одно из другого:

\[ 8\sqrt{3} - 6\sqrt{3} = (8-6)\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \]

Ответ: \(2\sqrt{3}\)