8. Лодка прошла по течению реки 2 часа и против течения 3 часа, всего пройдя 54 км. Найдите собственную скорость лодки, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Решение:

1. Пусть \( v \) — собственная скорость лодки (в км/ч).
2. Скорость лодки по течению: \( v + 2 \) км/ч.
3. Скорость лодки против течения: \( v - 2 \) км/ч.
4. Расстояние, пройденное по течению: \( 2(v + 2) \) км.
5. Расстояние, пройденное против течения: \( 3(v - 2) \) км.
6. Общее расстояние равно 54 км, составляем уравнение:
7. \( 2(v + 2) + 3(v - 2) = 54 \)
8. Раскроем скобки:
9. \( 2v + 4 + 3v - 6 = 54 \)
10. Приведём подобные слагаемые:
11. \( 5v - 2 = 54 \)
12. Перенесём -2 в правую часть:
13. \( 5v = 54 + 2 \)
14. \( 5v = 56 \)
15. Найдем \( v \):
16. \( v = \frac{56}{5} = 11.2 \) км/ч.

Ответ: 11.2 км/ч.