8. Кондитер испек 35 рогаликов. Известно, что 10 рогаликов он полил глазурью и 20 рогали-ков посыпал сахарной пудрой. некоторые рогалики могут быть одновременно и с глазурью, и с сахарной пудрой. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях, и запишите в ответе их номера без пробелов, запятых или других дополнительных символов. Ответ запишите без пробелов, запятых или других дополнительных символов. 1. Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра. 2. Найдется 5 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры. 3. Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 14. 4. Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 15.

Решение:

Обозначим:

• Г — рогалики с глазурью
• П — рогалики с сахарной пудрой
• Всего рогаликов — 35
• \( |Г| = 10 \)
• \( |П| = 20 \)

Используем принцип включения-исключения:

\( |Г \cup П| = |Г| + |П| - |Г \cap П| \)

\( |Г \cup П| \) — это число рогаликов, которые имеют хотя бы одну из добавок (глазурь или пудру).

Максимальное значение \( |Г \cup П| \) равно общему числу рогаликов, то есть 35.

\( 35 \geq 10 + 20 - |Г \cap П| \)

\( 35 \geq 30 - |Г \cap П| \)

\( |Г \cap П| \geq 30 - 35 \)

\( |Г \cap П| \geq -5 \) (Это не даёт полезной информации, так как количество рогаликов не может быть отрицательным).

Теперь рассмотрим минимальное значение \( |Г \cap П| \). Минимальное число рогаликов с обеими добавками произойдет, когда \( |Г ∪ П| \) максимально, то есть равно 35.

\( 35 = 10 + 20 - |Г \cap П| \)

\( 35 = 30 - |Г \cap П| \)

\( |Г \cap П| = 30 - 35 = -5 \) — это неверно. Значит, \( |Г ∪ П| \) не может быть равно 35, если \( |Г| + |П| \) меньше 35.

На самом деле, \( |Г ∪ П| \) может быть не более 35.

\( |Г ∪ П| \leq 35 \)

\( |Г| + |П| - |Г \cap П| \leq 35 \)

\( 10 + 20 - |Г \cap П| \leq 35 \)

\( 30 - |Г \cap П| \leq 35 \)

\( - |Г \cap П| \leq 5 \)

\( |Г \cap П| \geq -5 \)

Рассмотрим противоположную ситуацию: если \( |Г| + |П| > 35 \), то пересечение гарантировано.

Максимальное число рогаликов с глазурью = 10. Максимальное число рогаликов с пудрой = 20. Общее число рогаликов = 35.

Минимальное пересечение (|Г ∩ П|):

Если мы хотим минимизировать пересечение, мы должны предположить, что все рогалики с глазурью и все рогалики с пудрой имеют как можно меньше общих элементов. Однако, если \( |Г| + |П| > 35 \), то пересечение неизбежно.

\( |Г ∪ П| = |Г| + |П| - |Г \cap П| \)

\( |Г ∪ П| \leq 35 \)

\( 10 + 20 - |Г \cap П| \leq 35 \)

\( 30 - |Г \cap П| \leq 35 \)

\( |Г \cap П| \geq 30 - 35 = -5 \)

На самом деле, \( |Г ∪ П| \) может быть меньше 35. Давайте рассмотрим случай, когда \( |Г| + |П| \) максимально близок к 35.

Минимальное количество рогаликов с обеими добавками (|Г ∩ П|):

\( |Г ∪ П| \leq 35 \)

\( |Г ∪ П| = |Г| + |П| - |Г \cap П| \Rightarrow |Г \cap П| = |Г| + |П| - |Г ∪ П| \)

Чтобы минимизировать \( |Г ∪ П| \), мы можем предположить, что не все рогалики имеют добавки. Но по условию, 10 имеют глазурь, 20 — пудру. Значит, \( |Г ∪ П| \geq \max(|Г|, |П|) = 20 \).

\( |Г \cap П| = 10 + 20 - |Г ∪ П| = 30 - |Г ∪ П| \)

Чтобы минимизировать \( |Г ∪ П| \), мы должны взять наименьшее возможное значение, которое может быть равно 20 (все рогалики с глазурью также имеют пудру).

Если \( |Г ∪ П| = 20 \), то \( |Г ∪ П| = 20 \) (все с глазурью имеют пудру, и еще 10 с пудрой без глазури). Это не так.

Рассмотрим утверждения:

1. Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра.

Минимальное количество рогаликов с обеими добавками: \( |Г ∪ П| = |Г| + |П| - |Всего| \) (если \( |Г| + |П| > 35 \)).

\( |Г ∪ П| \geq |Г| + |П| - 35 = 10 + 20 - 35 = 30 - 35 = -5 \). Это не дает информации.

Нужно найти минимальное \( |Г ∪ П| \).

\( |Г ∪ П| = 30 - |Г ∪ П| \)

\( |Г ∪ П| \) может быть от \( \textrm{max}(10, 20) = 20 \) до 35.

Если \( |Г ∪ П| = 20 \) (все 10 с глазурью также имеют пудру, и еще 10 только с пудрой), то \( |Г ∪ П| = 30 - 20 = 10 \). Это значит, что 10 рогаликов с глазурью имеют пудру, 10 рогаликов имеют только пудру, и 15 рогаликов не имеют ничего. Всего 35. Это возможно.

Если \( |Г ∪ П| = 25 \) (10 с глазурью и пудрой, 10 только с пудрой, 5 только с глазурью), то \( |Г ∪ П| = 30 - 25 = 5 \). Но \( |Г ∪ П| \) не может быть меньше 5 (10+20-35 = -5, а минимально 0, и также \( |Г ∪ П| \) не может быть больше \( \textrm{min}(|Г|, |П|) = 10 \)).

Минимальное значение \( |Г ∪ П| \) = \( |Г| + |П| - |Всего| \) если \( |Г| + |П| > |Всего| \).

\( |Г ∪ П| \geq 10 + 20 - 35 = -5 \) - это неверно.

Переформулируем:

Всего рогаликов = 35.

С глазурью = 10.

С пудрой = 20.

Пусть \( x \) — рогалики с обеими добавками.

Тогда:

Только с глазурью: \( 10 - x \)

Только с пудрой: \( 20 - x \)

С обеими: \( x \)

Без добавок: \( 35 - (10 - x) - (20 - x) - x = 35 - 10 + x - 20 + x - x = 5 + x \)

Теперь подставим условия:

1. \( x \) должно быть \(\geq 0 \).

2. \( 10 - x \) должно быть \(\geq 0 \) \(\Rightarrow x \leq 10 \).

3. \( 20 - x \) должно быть \(\geq 0 \) \(\Rightarrow x \leq 20 \).

4. \( 5 + x \) должно быть \(\geq 0 \) \(\Rightarrow x \geq -5 \).

Объединяя условия, получаем: \( 0 \leq x \leq 10 \).

Теперь проверим утверждения:

1. Найдется 12 рогаликов, на которых и глазурь, и сахарная пудра.

Это означает, что \( x \) может быть 12. Но \( x \leq 10 \). Значит, это утверждение НЕВЕРНО.

2. Найдется 5 рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры.

Количество рогаликов без добавок равно \( 5 + x \). Минимальное значение этого выражения, когда \( x = 0 \), равно \( 5 + 0 = 5 \). Максимальное значение, когда \( x = 10 \), равно \( 5 + 10 = 15 \). Таким образом, количество рогаликов без добавок может быть 5. Это утверждение ВЕРНО.

3. Рогаликов, на которых есть и глазурь, и сахарная пудра, не может оказаться меньше 14.

Количество рогаликов с обеими добавками равно \( x \). Минимальное значение \( x = 0 \). Утверждение, что \( x \) не может быть меньше 14, НЕВЕРНО.

4. Рогаликов, на которых нет ни глазури, ни сахарной пудры, не может оказаться больше 15.

Количество рогаликов без добавок равно \( 5 + x \). Максимальное значение, когда \( x = 10 \), равно \( 5 + 10 = 15 \). Значит, количество рогаликов без добавок не может быть больше 15. Это утверждение ВЕРНО.

Верные утверждения: 2 и 4.

Ответ: 24