8. Функция задана формулой f(x) = 3x - x² - x³/3. Решите неравенство f'(x) > 0.

Решение:

Сначала найдем производную функции \( f(x) = 3x - x^2 - \frac{x^3}{3} \).

\( f'(x) = \frac{d}{dx}\left(3x - x^2 - \frac{x^3}{3}\right) \)

\( f'(x) = 3 - 2x - \frac{3x^2}{3} \)

\( f'(x) = 3 - 2x - x^2 \)

Теперь решим неравенство \( f'(x) > 0 \):

\( -x^2 - 2x + 3 > 0 \)

Умножим обе части на -1, сменив знак неравенства:

\( x^2 + 2x - 3 < 0 \)

Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 2x - 3 = 0 \). Используем теорему Виета или дискриминант.

По теореме Виета: \( x_1 + x_2 = -2 \) и \( x_1 x_2 = -3 \). Корни: \( x_1 = 1 \) и \( x_2 = -3 \).

Парабола \( y = x^2 + 2x - 3 \) ветвями вверх. Неравенство \( x^2 + 2x - 3 < 0 \) выполняется между корнями.

\( -3 < x < 1 \)

Ответ: \( (-3; 1) \).