8. ABCD — трапеция, AD ∥ BC, AD = 30. На рисунке ∠ABC = 135°, ∠BCD = 90°, ∠BDC = 45°. Найти BC.

В прямоугольном треугольнике BCD углы при C и D равны 90° и 45°, поэтому ∠CBD = 45° и BC = CD.

Угол ABC состоит из углов ABD и DBC, значит ∠ABD = 135° − 45° = 90°. Поскольку AD ∥ BC, углы между BD и AD и между BD и BC равны; следовательно, ∠ADB = 45°. Треугольник ABD — прямоугольный равнобедренный, а AD = 30 — его гипотенуза. Поэтому BD = 30/√2 = 15√2.

В треугольнике BCD с углами 45°, 45°, 90° гипотенуза BD = BC√2. Отсюда BC = 15.

Ответ: BC = 15.