8. (2 балла) Можно ли нарисовать изображенный на рисунке граф не

Решение:

Чтобы определить, можно ли нарисовать данный граф без отрыва карандаша от бумаги и не проводя ни одну линию дважды (т.е. является ли граф эйлеровым или полуэйлеровым), нужно проанализировать степени вершин графа.

Степень вершины — это количество рёбер, выходящих из неё (или входящих, если граф ориентированный). В данном случае граф ориентированный, поэтому мы будем считать полустепени (исходящие и входящие рёбра).

Для ориентированных графов существует теорема: ориентированный граф имеет эйлеров цикл тогда и только тогда, когда он связен и для каждой вершины степень её входа равна степени её выхода. Граф имеет эйлеров путь тогда и только тогда, когда он связен, и либо все вершины имеют равные степени входа и выхода, либо ровно две вершины отличаются: у одной степень выхода на 1 больше степени входа, а у другой степень входа на 1 больше степени выхода.

Проанализируем степени вершин графа:

• Парк А: Входящие: 0, Исходящие: 2 (в Б, в В).
• Парк Б: Входящие: 1 (из А), Исходящие: 1 (в Г).
• Парк В: Входящие: 1 (из А), Исходящие: 1 (в Г).
• Парк Г: Входящие: 2 (из Б, из В), Исходящие: 2 (в Ж, в Д).
• Парк Ж: Входящие: 1 (из Г), Исходящие: 1 (в Е).
• Парк Д: Входящие: 1 (из Г), Исходящие: 1 (в Е).
• Парк Е: Входящие: 2 (из Ж, из Д), Исходящие: 0.

Сравним степени входа и выхода для каждой вершины:

• А: Вход = 0, Выход = 2. Разница = 2.
• Б: Вход = 1, Выход = 1. Разница = 0.
• В: Вход = 1, Выход = 1. Разница = 0.
• Г: Вход = 2, Выход = 2. Разница = 0.
• Ж: Вход = 1, Выход = 1. Разница = 0.
• Д: Вход = 1, Выход = 1. Разница = 0.
• Е: Вход = 2, Выход = 0. Разница = -2.

У нас есть две вершины (А и Е), у которых степени входа и выхода отличаются более чем на 1. У вершины А степень выхода на 2 больше степени входа, а у вершины Е степень входа на 2 больше степени выхода. Согласно теореме для ориентированных графов, такой граф не является ни эйлеровым, ни полуэйлеровым. Это означает, что невозможно нарисовать данный граф, начиная с парка А, пройдя по каждой дороге ровно один раз и закончив в парке Е, или вернувшись в парк А.

Ответ: Нет, нарисовать данный граф так, чтобы пройти по каждой дороге ровно один раз, невозможно.